Квадратное уравнение: дискриминант и теорема Виета

Q: Какая формула дискриминанта?

D = b^2 − 4ac, где a, b и c — коэффициенты уравнения ax^2 + bx + c = 0. Для уравнения x^2 + 7x − 18 = 0: D = 49 + 72 = 121.

Q: Как найти корни по теореме Виета?

Для уравнения с первым коэффициентом 1 подобрать два числа: их сумма равна коэффициенту при x с противоположным знаком, а произведение — свободному члену. Для x^2 + 7x − 18 = 0 это −9 и 2.

Q: Что делать, если дискриминант отрицательный?

Записать, что корней нет. Во второй части это обычная ситуация: исходное уравнение распадается на два квадратных, и у одного из них корней нет.

Q: Есть ли эти формулы в справочных материалах ОГЭ?

Формула корней квадратного уравнения через дискриминант — есть. Теоремы Виета в справочных материалах нет.

Квадратное уравнение — это задание 9 в первой части и шаг решения почти в каждом алгебраическом задании второй части. Способов два: формула корней через дискриминант работает всегда, теорема Виета быстрее, когда корни целые.

На странице

Теория
Решённые примеры: 5
Типичные ошибки
В каких заданиях встречается
Вопросы и ответы

Теория

Дискриминант и формула корней

Квадратное уравнение имеет вид ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0. Его дискриминант: D = b² − 4ac.

D > 0 — два корня: x = −b ± √D2a.
D = 0 — один корень: x = −b2a.
D < 0 — корней нет.

Теорема Виета

Если приведённое квадратное уравнение x² + px + q = 0 имеет корни x1 и x2, то x1 + x2 = −p и x1 · x2 = q. Для уравнения ax² + bx + c = 0: x1 + x2 = −ba, x1 · x2 = ca.

Верна и обратная теорема: если сумма двух чисел равна −p, а произведение равно q, то эти числа — корни уравнения x² + px + q = 0. Ею и пользуются, когда подбирают корни.

Неполные квадратные уравнения

x² = k. При k > 0 корней два: √k и −√k; при k = 0 корень один, x = 0; при k < 0 корней нет.
ax² + bx = 0. Выноси x за скобки: x(ax + b) = 0, откуда x = 0 или x = −ba.

Когда какой способ

Формула через дискриминант подходит для любого квадратного уравнения. Теорема Виета удобна, когда старший коэффициент равен 1, а корни целые: тогда их подбирают по сумме и произведению. Неполные уравнения быстрее решать без дискриминанта.

Перед применением любого способа уравнение приводят к виду ax² + bx + c = 0: всё переносят в левую часть, справа остаётся ноль.

Решённые примеры

Примеры взяты из тренажёра: там такие же задания, только числа каждый раз новые.

1. Через дискриминант, в ответ — больший корень

Задание 9. Свободный член отрицательный: минус на минус в дискриминанте даёт плюс.

Решите уравнение x² + 7x − 18 = 0. Если корней несколько, запишите в ответ больший из них.

Решение

Дискриминант: D = b² − 4ac = 7² − 4 · (−18) = 121
√D = 11, корни: x = −7 ± 112, то есть −9 и 2
В ответ — больший: 2

Ответ: 2

Можно иначе. По теореме Виета сумма корней равна −7, произведение — −18. Подходят −9 и 2; больший из них — 2.

Если получилось другое число

−9 — Это тоже корень, но в ответ просят больший.
−2 — Проверь знаки корней: подставь ответ в уравнение.

Решать такие же в тренажёре →

2. Через дискриминант, в ответ — меньший корень

Задание 9. Коэффициент при x равен −1: в формуле корней −b — это 1.

Решите уравнение x² − x − 12 = 0. Если корней несколько, запишите в ответ меньший из них.

Решение

Дискриминант: D = b² − 4ac = (−1)² − 4 · (−12) = 49
√D = 7, корни: x = 1 ± 72, то есть −3 и 4
В ответ — меньший: −3

Ответ: −3

Можно иначе. По теореме Виета сумма корней равна 1, произведение — −12. Подходят −3 и 4; меньший из них — −3.

Если получилось другое число

4 — Это тоже корень, но в ответ просят меньший.
3 — Проверь знаки корней: подставь ответ в уравнение.

Решать такие же в тренажёре →

3. Неполное уравнение: x² равен числу

Задание 9. Корней два — положительный и отрицательный.

Решите уравнение x² − 100 = 0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

Решение

Перенеси число вправо: x² = 100
Таких чисел два: 10 и −10, потому что 10² = 100 и (−10)² = 100
В ответ — меньший: −10

Ответ: −10

Можно иначе. Разложи на множители по формуле разности квадратов: x² − 100 = (x − 10)(x + 10) = 0. Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю: x = 10 или x = −10. Меньший корень — −10.

Если получилось другое число

10 — Это тоже корень, но в ответ просят меньший.
100 — Это x², а не x. Осталось найти числа, квадрат которых равен 100.
50 — Квадрат — не удвоение: нужно извлечь корень, а не делить на 2.

Решать такие же в тренажёре →

4. Неполное уравнение без свободного члена

Задание 9. Делить на x нельзя — его выносят за скобки.

Решите уравнение 6x² = −72x. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

Решение

Перенеси всё влево: 6x² + 72x = 0
Вынеси x за скобки: x(6x + 72) = 0
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю: x = 0 или 6x = −72, то есть x = −12
В ответ — больший: 0

Ответ: 0

Можно иначе. Делить обе части на x нельзя — потеряется корень x = 0. Проверь его подстановкой: слева 0 и справа 0, подходит. Для остальных x делить уже можно: 6x = −72, x = −12. Из корней 0 и −12 больший — 0.

Если получилось другое число

−12 — Это тоже корень, но в ответ просят больший. Не забудь про корень x = 0.
12 — Проверь знак: подставь ответ в уравнение.

Решать такие же в тренажёре →

5. Отрицательный дискриминант во второй части

Задание 20. Уравнение распадается на два квадратных; у одного из них корней нет.

Решите уравнение x⁴ = (−3x + 10)².

На экзамене решение записывают полностью. В тренажёре для проверки: введи больший корень.

Решение

Перенеси всё влево и разложи как разность квадратов: (x²)² − (−3x + 10)² = 0
(x² − (−3x + 10))(x² + (−3x + 10)) = 0
Первая скобка: x² + 3x − 10 = 0, корни −5 и 2
Вторая скобка: x² − 3x + 10 = 0, дискриминант 9 − 40 = −31 — отрицательный, корней нет
Корни уравнения: −5 и 2. Больший: 2

Ответ: 2

Можно иначе. Можно без формулы: если квадраты двух чисел равны, то сами числа равны или противоположны. Значит, x² = −3x + 10 или x² = −(−3x + 10). Первое уравнение даёт −5 и 2, второе корней не имеет. Больший корень: 2.

Как это оценят на экзамене

2 балла — верный ответ получен обоснованно: все шаги записаны.
1 балл — решение доведено до конца, но в нём есть вычислительные ошибки; с их учётом дальнейшие шаги выполнены верно.
0 баллов — всё остальное, в том числе верный ответ без решения.

Если получилось другое число

−5 — Это меньший корень. Для проверки просят больший.
−2 — Проверь знаки корней подстановкой в исходное уравнение.

Решать такие же в тренажёре →

Типичные ошибки

Теряют знак в −4ac: при отрицательном c произведение прибавляется, а не вычитается.
Подставляют в формулу корней b вместо −b.
Делят на 2, а не на 2a, когда старший коэффициент не равен 1.
В теореме Виета берут сумму корней равной p, а не −p.
В уравнении ax² + bx = 0 делят обе части на x и теряют корень x = 0.
Из x² = 100 записывают один корень, 10, и забывают про −10.
Записывают в ответ не тот корень: перечитай, какой просят — больший или меньший.

В каких заданиях встречается

Задание 9 — полные и неполные квадратные уравнения.
Задание 13 — корни трёхчлена в квадратном неравенстве.
Задание 20 — уравнения и неравенства, которые сводятся к квадратным.
Задание 21 — текстовая задача приводит к квадратному уравнению.
Задание 22 — общие точки графика и прямой.

Решать квадратные уравнения Неполные уравненияБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

Вопросы и ответы

Какая формула дискриминанта?

D = b² − 4ac, где a, b и c — коэффициенты уравнения ax² + bx + c = 0. Для уравнения x² + 7x − 18 = 0: D = 49 + 72 = 121.

Как найти корни по теореме Виета?

Для уравнения с первым коэффициентом 1 подобрать два числа: их сумма равна коэффициенту при x с противоположным знаком, а произведение — свободному члену. Для x² + 7x − 18 = 0 это −9 и 2.

Что делать, если дискриминант отрицательный?

Записать, что корней нет. Во второй части это обычная ситуация: исходное уравнение распадается на два квадратных, и у одного из них корней нет.

Есть ли эти формулы в справочных материалах ОГЭ?

Формула корней квадратного уравнения через дискриминант — есть. Теоремы Виета в справочных материалах нет.

Соседние темы

Узнай, сколько баллов наберёшь сейчасДиагностика из восьми заданий занимает пять минут. После неё — прогноз балла и план на каждый день до экзамена.

Пройти диагностику

Теория — школьная программа 7–9 классов; задания составлены нами по спецификации и открытому банку заданий ФИПИ для ОГЭ 2027 года. Числа в тренажёре каждый раз новые. Обновлено 11.10.2026.