Формулы сокращённого умножения

Формулы сокращённого умножения — семь равенств, которые избавляют от перемножения скобок по одному слагаемому. В ОГЭ они нужны в обе стороны: слева направо — чтобы раскрыть скобки, справа налево — чтобы свернуть выражение в квадрат или разложить его на множители.

На странице

Теория
Решённые примеры: 6
Типичные ошибки
В каких заданиях встречается
Вопросы и ответы

Теория

Семь формул

Квадрат суммы: (a + b)² = a² + 2ab + b².
Квадрат разности: (a − b)² = a² − 2ab + b².
Разность квадратов: a² − b² = (a − b)(a + b).
Куб суммы: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.
Куб разности: (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³.
Сумма кубов: a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²).
Разность кубов: a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²).

Как их не перепутать

Квадрат суммы и квадрат разности отличаются только знаком удвоенного произведения 2ab; квадраты a² и b² всегда идут с плюсом. Разность квадратов — это произведение разности и суммы одних и тех же чисел.

В сумме и разности кубов вторая скобка — так называемый неполный квадрат: в ней стоит ab, а не 2ab. Знак перед ab противоположен знаку в первой скобке.

Любую формулу можно проверить, раскрыв скобки: (a + b)(a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b².

Где они нужны в ОГЭ

Задание 8: произведение (√a − √b)(√a + √b) равно a − b — корни исчезают.
Задание 8: квадрат выражения с корнем раскрывают по квадрату суммы или разности; слагаемые с корнем часто взаимно уничтожаются.
Задание 8: выражение вида a² + 10ab + 25b² сворачивают в (a + 5b)², и корень из него извлекается.
Задание 20: уравнения вида x⁴ = (kx + m)² и уравнения третьей степени раскладывают на множители — разность квадратов здесь главный инструмент.
Задание 22: дробь в формуле функции сокращается, если числитель или знаменатель раскладывается по формуле.

Когда формула применима

Буквы a и b — любые выражения: числа, корни, одночлены вроде 3x, целые скобки. Важно, чтобы выражение точно совпадало с одной из частей формулы. Сумма квадратов a² + b² на множители не раскладывается, а a² + ab + b² — не квадрат суммы: там нужно 2ab.

Первые три формулы есть в справочных материалах экзамена. Кубы туда не входят, но в первой части ОГЭ они встречаются редко.

Решённые примеры

1. Разность квадратов с корнями

Задание 8. Скобки отличаются только знаком — перемножать их по одному слагаемому не нужно.

Найдите значение выражения (√13 − √11)(√13 + √11).

Решение

Скобки отличаются только знаком — это разность квадратов: (x − y)(x + y) = x² − y²
Квадраты: (√13)² = 13, (√11)² = 11
13 − 11 = 2

Ответ: 2

Можно иначе. Можно раскрыть скобки и без формулы: получится 13, два слагаемых √13 · √11 с разными знаками и −11. Слагаемые с корнем уничтожаются, остаётся 13 − 11 = 2.

Если получилось не 2

24 — Между квадратами стоит минус: x² − y².
−2 — Вычитают из квадрата первого числа квадрат второго, а не наоборот.

Решать задачи на разность квадратовНовые числа в каждом задании и разбор ошибки

2. Квадрат суммы с корнем

Задание 8. Удвоенное произведение из формулы сокращается со вторым слагаемым выражения.

Найдите значение выражения (√14 + 3)² − 6√14.

Решение

Квадрат суммы: (x + y)² = x² + 2xy + y²
(√14 + 3)² = 14 + 6√14 + 9
Слагаемые с корнем уничтожаются: 14 + 6√14 + 9 − 6√14 = 23

Ответ: 23

Можно иначе. Присмотрись ко второму слагаемому: 6√14 — это как раз удвоенное произведение 2 · 3 · √14 из формулы. Оно вычитается, и от квадрата суммы остаются только квадраты: 14 + 9 = 23.

Если получилось не 23

17 — Число 3 тоже возводят в квадрат: 3² = 9.
5 — И в квадрате суммы, и в квадрате разности y² стоит с плюсом.
205 — (√14)² = 14, а не 196: корень и квадрат «съедают» друг друга.

3. Квадрат разности с корнем

Задание 8. То же с минусом в скобке: знак меняется только у удвоенного произведения.

Найдите значение выражения (√13 − 2)² + 4√13.

Решение

Квадрат разности: (x − y)² = x² − 2xy + y²
(√13 − 2)² = 13 − 4√13 + 4
Слагаемые с корнем уничтожаются: 13 − 4√13 + 4 + 4√13 = 17

Ответ: 17

Можно иначе. Присмотрись ко второму слагаемому: 4√13 — это как раз удвоенное произведение 2 · 2 · √13 из формулы. Оно прибавляется, и от квадрата разности остаются только квадраты: 13 + 4 = 17.

Если получилось не 17

15 — Число 2 тоже возводят в квадрат: 2² = 4.
9 — И в квадрате суммы, и в квадрате разности y² стоит с плюсом.
173 — (√13)² = 13, а не 169: корень и квадрат «съедают» друг друга.

4. Формула справа налево: свернуть в квадрат

Задание 8. Три слагаемых под корнем — квадрат суммы; сначала сворачивают, потом подставляют.

Найдите значение выражения √(a² + 10ab + 25b²) при a = 659 и b = 89.

Решение

Под корнем квадрат суммы: a² + 10ab + 25b² = (a + 5b)²
Корень из квадрата положительного числа — само число: a + 5b
659 + 5 · 89 = 659 + 409 = 6459 = 11

Ответ: 11

Можно иначе. Числа подобраны так, чтобы дроби сложились в целое: 5b = 409, и вместе с дробной частью числа a это 459 = 5. Поэтому сначала сворачивают выражение в (a + 5b)², а не возводят дроби в квадрат. Ответ: 11.

Если получилось не 11

121 — Это выражение под корнем. Корень ещё нужно извлечь.

5. Разность квадратов в уравнении

Задание 20. Обе части — квадраты, поэтому уравнение раскладывают на две скобки.

Решите уравнение x⁴ = (−3x + 10)².

На экзамене решение записывают полностью. В тренажёре для проверки: введи больший корень.

Решение

Перенеси всё влево и разложи как разность квадратов: (x²)² − (−3x + 10)² = 0
(x² − (−3x + 10))(x² + (−3x + 10)) = 0
Первая скобка: x² + 3x − 10 = 0, корни −5 и 2
Вторая скобка: x² − 3x + 10 = 0, дискриминант 9 − 40 = −31 — отрицательный, корней нет
Корни уравнения: −5 и 2. Больший: 2

Ответ: 2

Можно иначе. Можно без формулы: если квадраты двух чисел равны, то сами числа равны или противоположны. Значит, x² = −3x + 10 или x² = −(−3x + 10). Первое уравнение даёт −5 и 2, второе корней не имеет. Больший корень: 2.

Как это оценят на экзамене

2 балла — верный ответ получен обоснованно: все шаги записаны.
1 балл — решение доведено до конца, но в нём есть вычислительные ошибки; с их учётом дальнейшие шаги выполнены верно.
0 баллов — всё остальное, в том числе верный ответ без решения.

Если получилось не 2

−5 — Это меньший корень. Для проверки просят больший.
−2 — Проверь знаки корней подстановкой в исходное уравнение.

6. Группировка и разность квадратов

Задание 20. После вынесения общего множителя во второй скобке остаётся разность квадратов.

Решите уравнение x³ + 7x² = 4x + 28.

На экзамене решение записывают полностью. В тренажёре для проверки: введи наименьший корень.

Решение

Перенеси всё влево: x³ + 7x² − 4x − 28 = 0
Сгруппируй попарно: x²(x + 7) − 4(x + 7) = 0
Вынеси общий множитель: (x + 7)(x² − 4) = 0, то есть (x + 7)(x − 2)(x + 2) = 0
Корни: −7; −2; 2. Наименьший из них: −7

Ответ: −7

Можно иначе. Проверить разложение можно подстановкой: при x = −7 левая часть равна 0, правая — 0. Равенство верное, значит, −7 — корень; он меньше двух других.

Как это оценят на экзамене

2 балла — верный ответ получен обоснованно: все шаги записаны.
1 балл — решение доведено до конца, но в нём есть вычислительные ошибки; с их учётом дальнейшие шаги выполнены верно.
0 баллов — всё остальное, в том числе верный ответ без решения.

Если получилось не −7

2 — Это наибольший корень. Для проверки просят наименьший.
−2 — Корней три, и среди них есть отрицательные. Наименьший — тот, что левее всех на числовой прямой.

Типичные ошибки

Пишут (a + b)² = a² + b² и теряют удвоенное произведение 2ab.
В квадрате разности ставят минус перед b². Правильно: (a − b)² = a² − 2ab + b², последнее слагаемое с плюсом.
Забывают удвоить произведение: (x + 3)² = x² + 6x + 9, а не x² + 3x + 9.
Возводят в квадрат только часть одночлена: (3x)² = 9x², а не 3x².
Пытаются разложить сумму квадратов a² + b². На множители раскладывается только разность квадратов.
В сумме кубов пишут 2ab во второй скобке: a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²).

В каких заданиях встречается

Задание 8 — выражения с корнями: разность квадратов, квадрат суммы и разности.
Задание 20 — уравнения высших степеней, разложение на множители.
Задание 22 — сокращение дроби перед построением графика.

Вопросы и ответы

Сколько формул сокращённого умножения нужно знать к ОГЭ?

Семь: квадрат суммы и разности, разность квадратов, куб суммы и разности, сумма и разность кубов. В заданиях первой части чаще всего нужны первые три.

Как разложить на множители разность квадратов?

Записать произведение разности и суммы того, что возводится в квадрат: x² − 49 = (x − 7)(x + 7), 4a² − 9 = (2a − 3)(2a + 3).

Как раскрыть квадрат суммы?

Квадрат первого, плюс удвоенное произведение первого на второе, плюс квадрат второго: (x + 5)² = x² + 10x + 25.

Есть ли формулы сокращённого умножения в справочных материалах ОГЭ?

Да, три: квадрат суммы, квадрат разности и разность квадратов. Формул для кубов там нет.

Решать задачи на квадрат суммы и разности

Обновлено 11.10.2026