Квадратные неравенства и метод интервалов

Q: Что делать, если у трёхчлена нет корней?

Тогда он при всех x одного знака — знака старшего коэффициента. Неравенство либо верно для всех x, либо решений не имеет.

Q: Что такое метод интервалов?

Способ решать неравенства с произведением или дробью: отмечают нули множителей на прямой и определяют знак выражения на каждом промежутке.

Q: Есть ли квадратные неравенства в справочных материалах ОГЭ?

Нет. Там есть формула корней квадратного уравнения и разложение трёхчлена на множители — они нужны для первого шага.

Квадратное неравенство решают в три шага: корни трёхчлена, направление ветвей параболы, нужные промежутки. Во второй части тот же приём работает для произведений скобок и дробей — это метод интервалов.

На странице

Теория
Решённые примеры: 5
Типичные ошибки
В каких заданиях встречается
Вопросы и ответы

Теория

Через параболу

Найди корни трёхчлена ax² + bx + c — через дискриминант или по теореме Виета.
Если a > 0, ветви вверх: между корнями трёхчлен отрицателен, снаружи — положителен. При a < 0 — наоборот.
Выбери промежутки по знаку неравенства. Для ≤ и ≥ корни входят в ответ.

Если корней нет или корень один

D < 0, a > 0: трёхчлен положителен при всех x. Неравенство «> 0» верно всегда, «< 0» решений не имеет.
D = 0: трёхчлен равен нулю в одной точке, в остальных — знака a. Например, (x − 3)² ≤ 0 только при x = 3.

Метод интервалов

Разложи выражение на множители: (x − x1)(x − x2)…, дробь — на множители числителя и знаменателя.
Отметь на прямой все нули множителей. Нули знаменателя всегда выколоты.
Определи знак на крайнем правом промежутке и чередуй знаки при переходе через каждый простой корень.
Возьми промежутки нужного знака.

Решённые примеры

1. Неравенство «≥ 0»: части снаружи

Задание 13. Ветви вверх, нужны значения не меньше нуля — промежутки снаружи от корней.

Укажите решение неравенства x² + 5x − 14 ≥ 0.

(−∞; 2]
[−7; +∞)
[−7; 2]
(−∞; −7] ∪ [2; +∞)

Решение

Найди корни уравнения x² + 5x − 14 = 0: это −7 и 2
Ветви параболы направлены вверх: между корнями она ниже оси x, левее и правее — выше
Нужно ≥ 0 — берём две части снаружи от корней: (−∞; −7] ∪ [2; +∞)

Ответ: 4

Можно иначе. Проверь точкой: подставь число между корнями, например −6. Выражение получится отрицательным. Значит, середина не подходит, а части по краям — да: вариант 4.

Решать квадратные неравенстваНовые числа в каждом задании и разбор ошибки

2. Произведение скобок

Задание 13. Корни видны сразу, раскрывать скобки не нужно.

Укажите решение неравенства (x + 6)(x − 1) ≥ 0.

Решение

Произведение равно нулю, когда равна нулю одна из скобок: x = −6 или x = 1
Если раскрыть скобки, перед x² будет плюс: ветви параболы направлены вверх. Между корнями выражение отрицательно, снаружи — положительно
Знак «≥»: нужны значения снаружи от корней; корни входят в ответ, потому что неравенство нестрогое

Ответ: 2

Можно иначе. Проверь подстановкой одно число между корнями, например −2, и одно снаружи, например 2. Снаружи обе скобки одного знака, и произведение положительно; между корнями знаки разные, и оно отрицательно. Подходит вариант 2.

3. Неравенство по рисунку

Задание 13. По рисунку определяют корни и знак, потом подбирают неравенство.

Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.

x² − 36 < 0
x² − 36 > 0
x² − 6x < 0
x² − 6x > 0

Решение

На рисунке границы — числа 0 и 6: это корни нужного выражения. Точки выколоты, значит, неравенство строгое
Корни 0 и 6 у выражения x² − 6x = x(x − 6)
Закрашено между корнями. Ветви параболы направлены вверх, поэтому там выражение меньше нуля

Ответ: 3

Можно иначе. Проверь подстановкой. Возьми число из закрашенной части, например 3, и число из незакрашенной, например 7. Первое должно подходить неравенству, второе — нет. Так работает только вариант 3.

4. Произведение двух трёхчленов

Задание 20. Четыре корня на одной прямой, знаки чередуются.

Решите неравенство (x² + x − 30)(x² + x − 6) ≤ 0.

На экзамене решение записывают полностью. В тренажёре для проверки: выбери свой ответ из вариантов.

[−6; 5]
(−∞; −6] ∪ [−3; 2] ∪ [5; +∞)
[−6; −3] ∪ [2; 5]
[−3; 2]

Решение

Корни первого трёхчлена: −6 и 5. Корни второго: −3 и 2
Отметь на прямой четыре точки: −6, −3, 2, 5. Все закрашены, неравенство нестрогое
При больших x обе скобки положительны — справа стоит «+», дальше знаки чередуются: +, −, +, −, +
Минус — на отрезках [−6; −3] и [2; 5]

Ответ: 3

Можно иначе. Произведение не больше нуля, когда скобки разных знаков. Первая отрицательна между −6 и 5, вторая — между −3 и 2. Разные знаки там, где первая отрицательна, а вторая нет: от −6 до −3 и от 2 до 5. Вариант 3.

Как это оценят на экзамене

2 балла — верный ответ получен обоснованно: все шаги записаны.
1 балл — решение доведено до конца, но в нём есть вычислительные ошибки; с их учётом дальнейшие шаги выполнены верно.
0 баллов — всё остальное, в том числе верный ответ без решения.

5. Дробь с x в знаменателе

Задание 20. Ноль знаменателя выколот, даже если неравенство нестрогое.

Решите неравенство x ≤ 49x.

На экзамене решение записывают полностью. В тренажёре для проверки: выбери свой ответ из вариантов.

(−∞; −7] ∪ (0; 7]
(−∞; −7] ∪ [0; 7]
[−7; 0) ∪ [7; +∞)
[−7; 7]

Решение

Перенеси всё влево и приведи к общему знаменателю: x² − 49x ≤ 0
Разложи числитель: (x − 7)(x + 7)x ≤ 0. Отметь на прямой точки −7, 0 и 7; ноль — выколотая точка
Знаки на промежутках чередуются: «−» при x < −7, «+» от −7 до 0, «−» от 0 до 7, «+» при x > 7
Нужны промежутки с минусом и точки, где числитель равен нулю: (−∞; −7] ∪ (0; 7]

Ответ: 1

Можно иначе. Проверь по одному числу из каждого промежутка. x = −8: слева −8, справа ≈ −6,12 — верно. x = −1: −1 ≤ −49 — неверно. x = 1: 1 ≤ 49 — верно. x = 8: неверно. Подходят первый и третий промежутки — вариант 1.

Как это оценят на экзамене

2 балла — верный ответ получен обоснованно: все шаги записаны.
1 балл — решение доведено до конца, но в нём есть вычислительные ошибки; с их учётом дальнейшие шаги выполнены верно.
0 баллов — всё остальное, в том числе верный ответ без решения.

Типичные ошибки

Решают x² < 9 как x < ±3. Правильно: −3 < x < 3.
Путают, где трёхчлен отрицателен: при a > 0 — между корнями.
Включают в ответ ноль знаменателя при нестрогом неравенстве.
Умножают неравенство на выражение с x, не зная его знака.
Забывают поменять знак, когда выносят минус перед x².

В каких заданиях встречается

Задание 13 — квадратные неравенства, ответ промежутком или рисунком.
Задание 20 — метод интервалов: произведения и дроби.

Вопросы и ответы

Как решить квадратное неравенство?

Найти корни трёхчлена, определить направление ветвей параболы и выбрать промежутки нужного знака. Для x² − x − 12 < 0 корни −3 и 4, ветви вверх, ответ (−3; 4).

Что делать, если у трёхчлена нет корней?

Тогда он при всех x одного знака — знака старшего коэффициента. Неравенство либо верно для всех x, либо решений не имеет.

Что такое метод интервалов?

Способ решать неравенства с произведением или дробью: отмечают нули множителей на прямой и определяют знак выражения на каждом промежутке.

Есть ли квадратные неравенства в справочных материалах ОГЭ?

Нет. Там есть формула корней квадратного уравнения и разложение трёхчлена на множители — они нужны для первого шага.

Решать неравенства методом интервалов

Обновлено 11.10.2026