Вписанный и центральный угол

Почти все задачи про углы в окружности решаются одним фактом: вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. В справочных материалах его нет — его нужно помнить.

На странице

Теория
Решённые примеры: 5
Типичные ошибки
В каких заданиях встречается
Вопросы и ответы

Теория

Определения

Центральный угол — угол с вершиной в центре окружности. Он равен градусной мере дуги, на которую опирается.
Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность. Он равен половине дуги, на которую опирается.
Вся окружность — 360°, полуокружность — 180°.

Следствия

Вписанный угол равен половине центрального угла, который опирается на ту же дугу. Центральный, наоборот, вдвое больше вписанного.
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой: он опирается на полуокружность, 180° : 2 = 90°.
В четырёхугольнике, вписанном в окружность, сумма противоположных углов равна 180°.

Когда это применимо

Сначала посмотри, где вершина угла. В центре — угол центральный, на окружности — вписанный. Если вершина лежит внутри круга, но не в центре, или вне круга, эти правила к углу напрямую не относятся.

Сравнивать можно только углы, которые опираются на одну и ту же дугу. Хорда делит окружность на две дуги: вписанные углы с вершинами по разные стороны от хорды опираются на разные дуги и в сумме дают 180°.

Если дуга больше полуокружности, вписанный угол тупой, и сравнивать его с центральным углом неудобно: считай через дугу — вписанный угол равен её половине.

Решённые примеры

Примеры взяты из тренажёра: там такие же задания, только числа каждый раз новые.

1. Вписанный угол по центральному

Задание 16. Оба угла опираются на одну дугу — центральный делят пополам.

Центральный угол AOB равен 110°. Найдите вписанный угол ACB, который опирается на ту же дугу. Ответ дайте в градусах.

Решение

Центральный угол AOB и вписанный угол ACB опираются на одну дугу AB
Вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу
Угол ACB: 110° : 2 = 55°

Ответ: 55

Можно иначе. Центральный угол равен дуге, на которую опирается: дуга AB — 110°. Вписанный угол равен половине своей дуги: 55°.

Если получилось другое число

220 — Вписанный угол вдвое меньше центрального, а не больше.

Решать такие же в тренажёре →

2. Центральный угол по вписанному

Задание 16. Обратная задача: вписанный угол умножают на 2.

Вписанный угол ACB равен 61°. Найдите центральный угол AOB, который опирается на ту же дугу. Ответ дайте в градусах.

Решение

Вписанный угол ACB и центральный угол AOB опираются на одну дугу AB
Центральный угол вдвое больше вписанного, опирающегося на ту же дугу
Угол AOB: 2 · 61° = 122°

Ответ: 122

Можно иначе. Вписанный угол равен половине дуги, значит дуга AB — 122°. Центральный угол равен своей дуге: 122°.

Если получилось другое число

30,5 — Центральный угол вдвое больше вписанного, а не меньше.

Решать такие же в тренажёре →

3. Угол, опирающийся на диаметр

Задание 16. Сторона треугольника — диаметр, значит, угол напротив неё прямой.

Сторона AB треугольника ABC является диаметром описанной около него окружности. Угол A равен 51°. Найдите угол B. Ответ дайте в градусах.

Решение

Угол C вписанный и опирается на диаметр AB, поэтому он прямой: 90°
На углы A и B остаётся 180° − 90° = 90°
Угол B: 90° − 51° = 39°

Ответ: 39

Можно иначе. Треугольник, вписанный в окружность со стороной-диаметром, всегда прямоугольный. Его острые углы в сумме дают 90°, значит угол B равен 39°.

Если получилось другое число

129 — Угол C здесь прямой: он опирается на диаметр. Острые углы в сумме дают 90°, а не 180°.

Решать такие же в тренажёре →

4. Углы, опирающиеся на одну дугу

Задание 16. Во вписанном четырёхугольнике ищут два вписанных угла, которые «смотрят» на одну дугу.

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 54°, угол CAD равен 34°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Решение

Углы CAD и CBD вписанные и опираются на одну дугу CD, поэтому они равны
Угол CBD равен 34°
Угол ABD — то, что остаётся от угла ABC: 54° − 34° = 20°

Ответ: 20

Можно иначе. Диагональ BD делит угол ABC на две части: ABD и CBD. Угол CBD «смотрит» на ту же дугу CD, что и угол CAD, значит, равен 34°. На угол ABD остаётся 20°.

Если получилось другое число

88 — Угол ABD — часть угла ABC, он меньше его: вычитай, а не складывай.
126 — Это угол, противоположный углу ABC. Спрашивают его часть — угол ABD.

Решать такие же в тренажёре →

5. Два диаметра

Задание 16. От вписанного угла переходят к центральному, от него — к смежному.

Отрезки AC и BD — диаметры окружности с центром в точке O. Угол ACB равен 51°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

Решение

Вписанный угол ACB опирается на дугу AB, центральный угол AOB — на ту же дугу. Он вдвое больше
Угол AOB: 2 · 51° = 102°
Углы AOB и AOD смежные (BD — прямая): 180° − 102° = 78°

Ответ: 78

Можно иначе. Треугольник BOC равнобедренный: OB и OC — радиусы. Углы при основании BC равны 51°, значит, угол BOC равен 180° − 2 · 51° = 78°. Углы BOC и AOD вертикальные, поэтому угол AOD тоже 78°.

Если получилось другое число

102 — Это угол AOB. Угол AOD — смежный с ним.
51 — Угол AOD центральный, он не равен вписанному углу ACB.
129 — Сначала удвой вписанный угол — получится центральный угол AOB, и только потом вычитай из 180°.

Решать такие же в тренажёре →

Типичные ошибки

Делят на 2, когда нужно умножать, и наоборот. Центральный угол всегда больше вписанного, опирающегося на ту же дугу.
Называют вписанным угол с вершиной в центре окружности или центральным — угол с вершиной на окружности.
Считают равными вписанные углы, которые опираются на одну хорду, но лежат по разные стороны от неё.
Не замечают диаметр: угол, опирающийся на него, равен 90°, и это часто единственное данное задачи.
Во вписанном четырёхугольнике складывают соседние углы вместо противоположных.

В каких заданиях встречается

Задание 16 — центральный и вписанный углы, угол на диаметре, вписанный четырёхугольник.
Задание 19 — утверждения про углы в окружности.
Задание 24 — равные углы и окружность в доказательстве.
Задание 25 — окружность в задаче высокого уровня.

Решать задачи на вписанный угол Угол, опирающийся на диаметрБесплатно, без регистрации: новые числа в каждом задании и разбор ошибки.

Вопросы и ответы

Чему равен вписанный угол?

Половине дуги, на которую он опирается, или половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Если центральный угол равен 110°, вписанный равен 55°.

Чем центральный угол отличается от вписанного?

Положением вершины: у центрального она в центре окружности, у вписанного — на самой окружности. Центральный угол равен своей дуге, вписанный — её половине.

Чему равен вписанный угол, опирающийся на диаметр?

90°. Диаметр стягивает полуокружность в 180°, а вписанный угол равен половине своей дуги.

Есть ли эти свойства в справочных материалах ОГЭ?

Нет. В справочных материалах даны формулы, а свойства вписанного и центрального углов нужно помнить.

Соседние темы

Узнай, сколько баллов наберёшь сейчасДиагностика из восьми заданий занимает пять минут. После неё — прогноз балла и план на каждый день до экзамена.

Пройти диагностику

Теория — школьная программа 7–9 классов; задания составлены нами по спецификации и открытому банку заданий ФИПИ для ОГЭ 2027 года. Числа в тренажёре каждый раз новые. Обновлено 11.10.2026.