Прямоугольник и квадрат: площадь, свойства, диагональ

Прямоугольник — параллелограмм с прямыми углами, квадрат — прямоугольник с равными сторонами. Поэтому у них все свойства параллелограмма и ещё несколько своих, а самая полезная деталь — диагональ, которая делит фигуру на два прямоугольных треугольника.

На странице

Теория
Решённые примеры: 5
Типичные ошибки
В каких заданиях встречается
Вопросы и ответы

Теория

Площадь и периметр

Прямоугольник со сторонами a и b: S = ab, P = 2(a + b).
Квадрат со стороной a: S = a², P = 4a.
Площадь квадрата через диагональ d: S = d²2 — квадрат тоже ромб, а площадь ромба — половина произведения диагоналей.

Свойства прямоугольника

Противоположные стороны равны и параллельны, все углы прямые.
Диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Поэтому половины диагоналей вместе со стороной образуют равнобедренные треугольники.
Диагональ по теореме Пифагора: d = √(a² + b²).
Около прямоугольника можно описать окружность: её центр — точка пересечения диагоналей, диаметр равен диагонали.
Признак: параллелограмм с равными диагоналями — прямоугольник.

Свойства квадрата

Все стороны равны, все углы прямые; диагонали равны, перпендикулярны и делят углы пополам — по 45°.
Диагональ квадрата со стороной a: d = a√2.
Радиус вписанной окружности — половина стороны, a2; радиус описанной — половина диагонали, a√22.

Решённые примеры

1. Площадь по стороне и диагонали

Задание 17. Вторую сторону находят по теореме Пифагора: диагональ — гипотенуза.

В прямоугольнике одна сторона равна 24, а диагональ равна 25. Найдите площадь прямоугольника.

Решение

Диагональ делит прямоугольник на два прямоугольных треугольника: она гипотенуза, стороны — катеты
Вторая сторона: √(625 − 576) = √49 = 7
Площадь: 24 · 7 = 168

Ответ: 168

Можно иначе. Гипотенуза 25 и катет 24 — известная тройка сторон, второй катет равен 7. Это вторая сторона прямоугольника, площадь — 24 · 7 = 168.

Если получилось не 168

600 — Площадь — произведение сторон, а диагональ стороной не является. Сначала найди вторую сторону.
7 — Это вторая сторона. Осталось умножить стороны друг на друга.
62 — Это периметр, а спрашивают площадь.

Решать задачи на прямоугольникНовые числа в каждом задании и разбор ошибки

2. Периметр квадрата по площади

Задание 17. Сторона — корень из площади.

Площадь квадрата равна 121. Найдите периметр этого квадрата.

Решение

Площадь квадрата — сторона, умноженная на себя
Сторона: √121 = 11
Периметр: 4 · 11 = 44

Ответ: 44

Можно иначе. Какое число, умноженное на себя, даёт 121? Это 11 — сторона квадрата. Сторон четыре: 44.

Если получилось не 44

11 — Это сторона квадрата. Периметр — сумма четырёх сторон.
30,25 — Сначала найди сторону: это корень из площади, а не её четверть.

3. Диагональ квадрата

Задание 17. Диагональ в √2 раз больше стороны.

Сторона квадрата равна 26√2. Найдите диагональ этого квадрата.

Решение

Диагональ квадрата со стороной a равна a√2
Диагональ: 26√2 · √2
√2 · √2 = 2, поэтому 26 · 2 = 52

Ответ: 52

Можно иначе. Диагональ делит квадрат на два прямоугольных треугольника с катетами 26√2. По теореме Пифагора квадрат диагонали равен (26√2)² + (26√2)² = 1352 + 1352 = 2704. Корень из 2704 — это 52.

Если получилось не 52

26 — На √2 нужно умножить, а не разделить: диагональ длиннее стороны.
104 — √2 · √2 = 2, а не 4.
1352 — Это квадрат стороны — площадь квадрата. Спрашивают диагональ.

4. Угол между диагоналями

Задание 17. Половины диагоналей равны — треугольник равнобедренный.

Диагональ прямоугольника образует угол 54° с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение

Диагонали прямоугольника равны и делятся пополам, поэтому треугольник из двух половин диагоналей и стороны — равнобедренный
Углы при его основании равны 54°, угол при вершине (между диагоналями): 180° − 2 · 54° = 72°
Он острый — это и есть ответ: 72°

Ответ: 72

Можно иначе. С соседней стороной диагональ образует угол 90° − 54° = 36°. Острый угол между диагоналями — внешний угол равнобедренного треугольника с углами при основании 36°, то есть вдвое больше меньшего из двух углов: 2 · 36° = 72°.

Если получилось не 72

108 — Это тупой угол между диагоналями. Спрашивают острый — смежный с ним.
36 — Это угол между диагональю и стороной. Угол между диагоналями вдвое больше.
54 — Это угол диагонали с соседней стороной. Нужен угол между двумя диагоналями.

5. Окружность, описанная около квадрата

Задание 16. Диаметр описанной окружности — диагональ квадрата.

Сторона квадрата равна 13√2. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

Решение

Диагональ квадрата — диаметр описанной окружности. Диагональ квадрата со стороной a равна a√2
Диагональ: 13√2 · √2 = 26
Радиус: 26 : 2 = 13

Ответ: 13

Можно иначе. Центр квадрата соединён с двумя соседними вершинами радиусами, и угол между ними прямой. По теореме Пифагора R² + R² = (13√2)² = 338, откуда R² = 169 и R = 13.

Если получилось не 13

26 — Это диагональ квадрата — диаметр окружности. Радиус вдвое меньше.

Типичные ошибки

Путают площадь и периметр: S = ab, P = 2(a + b).
Считают диагональ квадрата равной 2a. Она равна a√2.
Берут радиус описанной окружности равным стороне, а не половине диагонали.
Ищут угол между диагоналями прямоугольника, забыв, что треугольник из половин диагоналей равнобедренный.
В ответ пишут тупой угол между диагоналями, когда спрашивают острый.

В каких заданиях встречается

Задание 17 — площадь, периметр, диагонали прямоугольника и квадрата.
Задание 16 — окружность, вписанная в квадрат и описанная около него.
Задание 18 — площади фигур на клетчатой бумаге.
Задания 1–⁠5 — площадь участка, комнаты, листа бумаги.

Вопросы и ответы

Как найти площадь прямоугольника?

Перемножить длину и ширину. Прямоугольник 7 на 4 имеет площадь 28.

Как найти диагональ прямоугольника?

По теореме Пифагора: корень из суммы квадратов сторон. Для сторон 6 и 8 диагональ равна 10.

Чему равна диагональ квадрата?

Стороне, умноженной на √2. У квадрата со стороной 5 диагональ 5√2 ≈ 7,07.

Есть ли свойства прямоугольника в справочных материалах ОГЭ?

Нет. Свойства четырёхугольников нужно помнить; формулы площади прямоугольника и квадрата тоже не выписаны — они следуют из определения площади.

Решать задачи на квадрат

Обновлено 11.10.2026