Площадь круга и длина окружности

Q: Есть ли эти формулы в справочных материалах ОГЭ?

Да: длина окружности C = 2πr и площадь круга S = πr^2. Формул длины дуги и площади сектора там нет.

Две формулы с числом π: длина окружности и площадь круга. В ОГЭ они нужны в практических задачах 1–⁠5 (теплица, колесо), в задании 18 на клетчатой бумаге и как шаг в задачах про окружность.

На странице

Теория
Решённые примеры: 5
Типичные ошибки
В каких заданиях встречается
Вопросы и ответы

Теория

Формулы

Длина окружности радиуса r: C = 2πr. Через диаметр d = 2r: C = πd.
Площадь круга радиуса r: S = πr². Через диаметр: S = πd²4.
Число π ≈ 3,14. В задачах первой части обычно говорят, каким значением пользоваться, или просят найти Sπ.

Части круга и окружности

Длина полуокружности — половина длины окружности: πr. Площадь полукруга — πr²2.
Длина дуги в n°: πrn180. Площадь сектора с центральным углом n°: πr²n360.

Как меняются длина и площадь

Длина окружности пропорциональна радиусу: радиус вдвое больше — длина вдвое больше. Площадь пропорциональна квадрату радиуса: радиус вдвое больше — площадь вчетверо больше. Поэтому в задачах на отношение площадей двух кругов число π сокращается и достаточно сравнить квадраты радиусов.

Где взять радиус

Окружность, вписанная в квадрат: радиус равен половине стороны.
Окружность, описанная около квадрата или прямоугольника: диаметр равен диагонали.
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника: диаметр равен гипотенузе.
На клетчатой бумаге радиус считают по клеткам от центра до точки окружности.

Решённые примеры

1. Длина полуокружности

Задания 1–⁠5, теплица. Дуга каркаса — половина окружности; диаметр — ширина теплицы.

Хозяйка ставит на участке теплицу длиной 10 м и шириной 5 м. Каркас теплицы — металлические дуги в форме полуокружности; их ставят через каждые 1 м, первую и последнюю — у торцов.

Сверху каркас обтягивают плёнкой, а торцы закрывают поликарбонатом. Внутри вдоль всей теплицы — две одинаковые грядки, между ними дорожка.

На рисунке — торец теплицы: ширина дорожки 1,4 м. При расчётах число π считайте равным 3,14.

Найдите длину одной дуги каркаса. Ответ дайте в метрах и округлите до десятых.

Решение

Дуга — половина окружности диаметром 5 м, её радиус 2,5 м
Длина полуокружности: π · R = 3,14 · 2,5 = 7,85
До десятых: 7,9

Ответ: 7,9

Можно иначе. Длина всей окружности диаметром 5 м — π · d = 15,7. Дуга — половина: 7,85 ≈ 7,9.

Если получилось не 7,9

15,7 — Это длина целой окружности. Дуга — только её половина.
19,6 — Радиус в квадрат возводят для площади. Длина полуокружности — π · R.

Решать задачи на площадь кругаНовые числа в каждом задании и разбор ошибки

2. Площадь полукруга

Задания 1–⁠5, теплица. Торец — полукруг, его площадь — половина площади круга.

Хозяйка ставит на участке теплицу длиной 8 м и шириной 3,4 м. Каркас теплицы — металлические дуги в форме полуокружности; их ставят через каждые 1 м, первую и последнюю — у торцов.

На рисунке — торец теплицы: ширина дорожки 1,6 м. При расчётах число π считайте равным 3,14.

Найдите площадь одного торца теплицы. Ответ дайте в квадратных метрах и округлите до десятых.

Решение

Торец — половина круга радиуса 1,7 м
Площадь круга: π · R² = 3,14 · 2,89 = 9,0746
Половина: 4,5373 ≈ 4,5

Ответ: 4,5

Можно иначе. Площадь полукруга — π · R² : 2 = 3,14 · 1,7 · 1,7 : 2 ≈ 4,5.

Если получилось не 4,5

9,1 — Это площадь целого круга. Торец — полукруг.
18,1 — В формулу площади входит радиус, а не диаметр.

3. Длина окружности колеса

Задания 1–⁠5, шины. За один оборот колесо проходит длину своей окружности, а она пропорциональна диаметру.

На шине автомобиля есть маркировка, например 195/65 R15. Первое число — ширина шины в миллиметрах. Второе — высота боковины в процентах от ширины шины. Число после буквы R — диаметр диска в дюймах; в одном дюйме 25,4 мм.

Диаметр колеса равен диаметру диска и двум высотам боковины.

Завод ставит на автомобиль шины 205/60 R15. В таблице — шины, которые завод разрешает ставить: на пересечении ширины шины и диаметра диска указана высота боковины в процентах. Прочерк значит, что такую шину ставить нельзя.

Ширина шины, мм	Диск 15″	Диск 16″	Диск 17″
195	195/65	195/60	—
205	205/60	205/55	205/50
215	—	215/55	215/50
225	—	225/50	225/45

На сколько процентов увеличится путь, который автомобиль проходит за один оборот колеса, если шины 205/60 R15 заменить шинами 195/65 R15? Ответ округлите до десятых.

Решение

За один оборот колесо проходит длину своей окружности, а она пропорциональна диаметру
Диаметры колёс: 627 мм и 634,5 мм
634,5 : 627 ≈ 1,012, то есть путь вырастет на 1,2

Ответ: 1,2

Можно иначе. Диаметр вырос на 7,5 мм. Какую часть от 627 это составляет? 7,5 : 627 · 100 ≈ 1,2.

Если получилось не 1,2

7,5 — Это разница диаметров в миллиметрах. Спрашивают, сколько процентов она составляет от прежнего диаметра.

4. Во сколько раз площадь одного круга больше другого

Задание 18. Площади относятся как квадраты радиусов, число π сокращается.

На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?

Решение

Посчитай радиусы по клеткам: 4 и 2
Площадь круга равна πR², поэтому отношение площадей равно отношению квадратов радиусов — число π сокращается
4²2² = 164 = 4

Ответ: 4

Можно иначе. Радиус большего круга в 2 раза больше. Площадь зависит от квадрата радиуса, поэтому она больше в 2 · 2 = 4 раза.

Если получилось не 4

2 — Это отношение радиусов. Площади относятся как квадраты радиусов.
16 — Это квадрат радиуса большего круга, а спрашивают отношение площадей.
12 — Спрашивают «во сколько раз» — нужно делить, а не вычитать.

5. Радиус окружности, вписанной в квадрат

Задание 16. Радиус — первый шаг почти любой задачи про площадь круга.

Сторона квадрата равна 16. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.

Решение

Вписанная окружность касается всех сторон квадрата
Её диаметр равен стороне квадрата, а радиус — половине стороны
Радиус: 16 : 2 = 8

Ответ: 8

Можно иначе. От центра квадрата до каждой его стороны — половина стороны. Это и есть радиус: 8.

Если получилось не 8

16 — Стороне квадрата равен диаметр. Радиус вдвое меньше.

Типичные ошибки

Путают формулы: πr² — площадь круга, 2πr — длина окружности.
Подставляют диаметр вместо радиуса: при d = 10 площадь равна 25π, а не 100π.
Считают, что при удвоении радиуса площадь удваивается. Она увеличивается в 4 раза.
Для дуги или полукруга берут всю окружность или весь круг.
Округляют π раньше времени или берут не то значение, которое указано в условии.

В каких заданиях встречается

Задания 1–⁠5 — теплица, шины и колёса: длина дуги, площадь торца.
Задание 16 — радиус вписанной и описанной окружности.
Задание 18 — круги на клетчатой бумаге.
Задание 19 — утверждения про длину окружности и площадь круга.

Вопросы и ответы

Как найти площадь круга?

Умножить число π на квадрат радиуса: при радиусе 3 площадь равна 9π ≈ 28,26.

Как найти длину окружности?

Умножить 2π на радиус или π на диаметр: при диаметре 10 длина равна 10π ≈ 31,4.

Как найти площадь круга через диаметр?

Разделить диаметр пополам — получится радиус — и подставить в S = πr². При диаметре 8 радиус 4, площадь 16π.

Есть ли эти формулы в справочных материалах ОГЭ?

Да: длина окружности C = 2πr и площадь круга S = πr². Формул длины дуги и площади сектора там нет.

Решать задачи на радиус окружности

Обновлено 11.10.2026