Квадратный корень и его свойства

Q: Что такое арифметический квадратный корень?

Неотрицательное число, квадрат которого равен данному. √49 = 7, потому что 7 ≥ 0 и 7^2 = 49.

Q: Как умножить корни?

Перемножить подкоренные выражения под одним корнем: √2 · √8 = √16 = 4.

Q: Как вынести множитель из-под корня?

Разложить подкоренное число так, чтобы один множитель был полным квадратом, и извлечь из него корень: √72 = √(36 · 2) = 6√2.

Q: Есть ли свойства корней в справочных материалах ОГЭ?

Да: корень из произведения и корень из дроби. Там же есть таблица квадратов двузначных чисел — по ней извлекают корни.

Корни встречаются в заданиях 7 и 8: оценить корень на прямой, упростить произведение корней, извлечь корень из выражения с буквами. Нужны определение и три свойства — остальное следует из них.

На странице

Теория
Решённые примеры: 6
Типичные ошибки
В каких заданиях встречается
Вопросы и ответы

Теория

Определение

Арифметический квадратный корень из неотрицательного числа a — такое неотрицательное число, квадрат которого равен a: √a ≥ 0 и (√a)² = a. Корень из отрицательного числа не определён.

Уравнение x² = a при a > 0 имеет два корня, √a и −√a, но сам знак √ всегда означает неотрицательное число: √9 = 3, а не ±3.

Свойства

Корень из произведения: √(ab) = √a · √b при a ≥ 0, b ≥ 0.
Корень из дроби: √(ab) = √a√b при a ≥ 0, b > 0.
Корень из квадрата: √(a²) = |a|. Для a ≥ 0 это просто a, для a < 0 — число −a.
Корень из чётной степени: √(a⁴) = a², √(a⁶) = |a³|.

Приёмы

Вынести множитель из-под корня: √50 = √(25 · 2) = 5√2. Ищи среди множителей полный квадрат.
Внести множитель под корень: 3√2 = √(9 · 2) = √18. Так удобно сравнивать числа с корнями.
Оценить корень: найди два соседних полных квадрата. 64 < 70 < 81, поэтому 8 < √70 < 9.
Избавиться от корня в знаменателе: 1√3 = √33.

Когда свойства применимы

Произведение и частное корней собирают под один корень, но сумму — нельзя: √9 + √16 = 7, а √25 = 5. Корни складывают, только если под ними одно и то же число: 2√3 + 5√3 = 7√3. Свойства корня из произведения и из дроби есть в справочных материалах, а таблица квадратов там помогает извлекать корни.

Решённые примеры

1. Произведение корней

Задание 8. Два корня собирают под один и извлекают корень из произведения.

Найдите значение выражения √6 · √54.

Решение

Произведение корней — корень из произведения: √6 · √54 = √324
√324 = 18, потому что 18 · 18 = 324

Ответ: 18

Можно иначе. Вынеси множители из-под корня: √6 = √6, √54 = 3√6. Тогда √6 · 3√6 = 3 · 6 = 18.

Если получилось не 18

324 — Числа под корнем перемножены, а корень ещё не извлечён.
162 — Извлечь корень — не значит разделить на 2: нужно число, квадрат которого равен произведению.

Решать задачи на свойства корнейНовые числа в каждом задании и разбор ошибки

2. Произведение и частное под одним корнем

Задание 8. Сначала сокращают под корнем, потом извлекают.

Найдите значение выражения √33 · √12√11.

Решение

Произведение и частное корней можно собрать под один корень: √(33 · 1211)
33 : 11 = 3, поэтому под корнем остаётся 3 · 12 = 36
√36 = 6

Ответ: 6

Можно иначе. Разложи первый корень: √33 = √11 · √3. Корень √11 сократится со знаменателем, останется √3 · √12 = √36 = 6.

Если получилось не 6

36 — Это число под корнем, а корень ещё не извлечён.
18 — Извлечь корень — не значит разделить на 2: нужно число, квадрат которого равен числу под корнем.

3. Скобка, умноженная на корень

Задание 8. Раскрыть скобки или сначала вынести множитель из-под корня.

Найдите значение выражения (√24 + √6) · √6.

Решение

Раскрой скобки: √24 · √6 + √6 · √6
√24 · √6 = √144 = 12, а √6 · √6 = 6
12 + 6 = 18

Ответ: 18

Можно иначе. Сначала упрости первый корень: √24 = 2√6. Тогда в скобке 2√6 + √6 = 3√6, и умножение на √6 даёт 3 · 6 = 18.

Если получилось не 18

6 — Проверь знак в скобке: там «+».
12 — На корень умножают оба слагаемых скобки, а не только первое.

4. Корень из дроби с буквами

Задание 8. Корень из чётной степени уменьшает показатель вдвое.

Найдите значение выражения √(4x⁴y⁶) при x = 5 и y = 2.

Решение

Корень из дроби — дробь из корней: √(4x⁴)√(y⁶)
√4 = 2, √(x⁴) = x², √(y⁶) = y³: получается 2x²y³
При x = 5, y = 2: 508 = 6,25

Ответ: 6,25

Можно иначе. Под корнем стоит квадрат дроби 2x²y³: возведи её в квадрат и убедись. Корень из квадрата положительного числа — само число, остаётся подставить: 6,25.

Если получилось не 6,25

39,0625 — Это выражение под корнем. Корень ещё нужно извлечь.

5. Корень из чётной степени отрицательного

Задание 8. Чётная степень убирает минус, поэтому под корнем число неотрицательное.

Найдите значение выражения √((−a)⁴ · a²) при a = 3.

Решение

Показатель 4 чётный, поэтому минус исчезает: (−a)⁴ = a⁴
Под корнем a² · a⁴ = a⁶, корень из него — a³
При a = 3: 3³ = 27

Ответ: 27

Можно иначе. Подставь a = 3 сразу в скобку: (−3)⁴ = 81 — положительное число. Тогда под корнем 9 · 81 = 729, и корень равен 27.

Если получилось не 27

−27 — Чётная степень отрицательного числа положительна, а значение корня не бывает отрицательным.
729 — Это выражение под корнем: корень ещё не извлечён.

6. Между какими целыми числами корень

Задание 7. Корень оценивают соседними полными квадратами.

Между какими целыми числами заключено число √102?

10 и 11
11 и 12
12 и 13
13 и 14

Решение

Найди два соседних квадрата, между которыми стоит 102: 100 < 102 < 121
Значит, 10 < √102 < 11

Ответ: 1

Можно иначе. Перебирай квадраты подряд: 1, 4, 9, 16… Последний, который не больше 102, — это 100 = 10². Значит, корень чуть больше 10: вариант 1.

Типичные ошибки

Складывают под одним корнем: √(a + b) не равно √a + √b.
Пишут √9 = ±3. Знак корня означает неотрицательное число: √9 = 3.
Забывают модуль: √((−5)²) = 5, а не −5.
Выносят из-под корня не полный квадрат: √12 = 2√3, а не 3√2 или 4√3.
При оценке корня берут не соседние квадраты, а любые: для √102 нужны 100 и 121.

В каких заданиях встречается

Задание 7 — корень на координатной прямой, между какими числами он стоит.
Задание 8 — произведение, частное и степени корней.
Задание 9 — неполное квадратное уравнение x² = число.
Задание 20 — уравнения с корнем и посторонние корни.

Вопросы и ответы

Что такое арифметический квадратный корень?

Неотрицательное число, квадрат которого равен данному. √49 = 7, потому что 7 ≥ 0 и 7² = 49.

Как умножить корни?

Перемножить подкоренные выражения под одним корнем: √2 · √8 = √16 = 4.

Как вынести множитель из-под корня?

Разложить подкоренное число так, чтобы один множитель был полным квадратом, и извлечь из него корень: √72 = √(36 · 2) = 6√2.

Есть ли свойства корней в справочных материалах ОГЭ?

Да: корень из произведения и корень из дроби. Там же есть таблица квадратов двузначных чисел — по ней извлекают корни.

Оценивать корень между целыми числами

Обновлено 11.10.2026