Свойства степеней

Q: Что происходит с показателями при умножении степеней?

Если основания одинаковые, показатели складываются: 5^2 · 5^3 = 5^5. При разных основаниях складывать показатели нельзя.

Q: Чему равно число в нулевой степени?

Единице, если основание не равно нулю: 7^0 = 1, (−2,5)^0 = 1. Выражение 0^0 не определено.

В задании 8 почти всегда есть степени, и почти всегда их не нужно вычислять «в лоб»: сначала выражение упрощают по свойствам, потом подставляют числа. Свойств шесть, и все они следуют из того, что степень — это произведение одинаковых множителей.

На странице

Теория
Решённые примеры: 6
Типичные ошибки
В каких заданиях встречается
Вопросы и ответы

Теория

Определения

aⁿ при натуральном n — произведение n множителей, каждый из которых равен a; a¹ = a.
a⁰ = 1 при a ≠ 0.
Отрицательный показатель: a⁻ⁿ = 1aⁿ при a ≠ 0.

Свойства

Умножение степеней с одним основанием — показатели складываются: aⁿ · a^m = a^{n + m}.
Деление — показатели вычитаются: aⁿ : a^m = a^{n − m}.
Степень степени — показатели перемножаются: (aⁿ)^m = a^nm.
Степень произведения: (ab)ⁿ = aⁿ · bⁿ.
Степень дроби: числитель и знаменатель возводят в степень по отдельности, (ab)ⁿ = aⁿbⁿ.

Как этим пользоваться

Если основания разные, их сначала приводят к одному или раскладывают: 10 = 2 · 5, 8 = 2³, 0,2 = 15. Если в выражении есть буква, упрощают до подстановки: от a⁹ · a¹² : a¹⁹ остаётся a², и считать большие степени не придётся.

Чётная степень отрицательного числа положительна: (−3)⁴ = 81, нечётная — отрицательна: (−2)³ = −8. А −3⁴ = −81: здесь в степень возводится только тройка.

Когда свойства применимы

Складывать и вычитать показатели можно только при одинаковых основаниях. Для суммы степеней свойств нет: 2³ + 2⁴ не равно 2⁷. Такую сумму считают по отдельности или выносят общий множитель: 2³ + 2⁴ = 2³ · (1 + 2) = 24. Свойства степеней есть в справочных материалах экзамена.

Решённые примеры

1. Умножение и деление степеней

Задание 8. Основание одно — работают только с показателями.

Найдите значение выражения 3⁶ · 3²3⁶.

Решение

При умножении степеней с одним основанием показатели складываются: 3⁶ · 3² = 3⁸
При делении — вычитаются: 3⁸ : 3⁶ = 3²
3² = 9

Ответ: 9

Можно иначе. В числителе 8 множителей 3, в знаменателе — 6. После сокращения остаётся 2: 3² = 9.

Если получилось не 9

2 — Это показатель степени, а нужно значение самой степени.
6 — Степень — это число, умноженное на себя несколько раз, а не число, умноженное на показатель.

Решать задачи на свойства степенейНовые числа в каждом задании и разбор ошибки

2. Отрицательный показатель

Задание 8. Показатели складываются с учётом знака.

Найдите значение выражения 5⁻⁴ · 5⁶.

Решение

Основания одинаковые — показатели складываются: −4 + 6 = 2
5² = 25

Ответ: 25

Можно иначе. 5⁻⁴ — это 15⁴. Тогда выражение равно 5⁶5⁴ = 5² = 25.

Если получилось не 25

2 — Это показатель степени, а нужно значение самой степени.
9765625 — Потерялся минус: складывать нужно −4 и 6.
0,04 — Показатель получился отрицательным: проверь сложение чисел с разными знаками.

3. Сначала упростить, потом подставить

Задание 8. Подставлять число в большие степени долго — показатели складывают и вычитают заранее.

Найдите значение выражения a⁹ · a¹² : a¹⁹ при a = 10.

Решение

Подставлять рано — сначала упрости. При умножении показатели складываются: a⁹ · a¹² = a²¹
При делении — вычитаются: a²¹ : a¹⁹ = a²
Теперь подставь a = 10: 10² = 100

Ответ: 100

Можно иначе. Считать 10⁹ и 10¹² по отдельности слишком долго, да и не нужно. Сразу сложи и вычти показатели: 9 + 12 − 19 = 2. Остаётся 10² = 100.

Если получилось не 100

2 — Это показатель степени, а нужно значение самой степени.
20 — Степень — это число, умноженное на себя несколько раз, а не число, умноженное на показатель.

4. Степень степени

Задание 8. Скобка в степени: показатели перемножают.

Найдите значение выражения (a⁵)⁴a¹⁷ при a = 2.

Решение

Степень возводят в степень — показатели перемножают: (a⁵)⁴ = a²⁰
При делении показатели вычитают: a²⁰ : a¹⁷ = a³
Подставь a = 2: 2³ = 8

Ответ: 8

Можно иначе. (a⁵)⁴ — это a⁵, взятое множителем 4 раза, то есть 20 множителей a. В знаменателе их 17. После сокращения остаётся 3: 2³ = 8.

Если получилось не 8

3 — Это показатель степени, а нужно значение самой степени.

5. Разные основания

Задание 8. Основание 10 раскладывают на 2 и 5 и сокращают каждое отдельно.

Найдите значение выражения 10⁵2³ · 5³.

Решение

10 = 2 · 5, поэтому 10⁵ = 2⁵ · 5⁵
Сократи степени двойки и пятёрки по отдельности: 2⁵ : 2³ = 4, 5⁵ : 5³ = 25
4 · 25 = 100

Ответ: 100

Можно иначе. В числителе 5 двоек и 5 пятёрок, в знаменателе — 3 двойки и 3 пятёрки. После сокращения остаётся двоек — 2, пятёрок — 2: 2² · 5² = 100.

Если получилось не 100

1 — Показатели у двойки и пятёрки в знаменателе разные: сокращай их по отдельности.

6. Две буквы и корень

Задание 8. Степень произведения раскрывают, потом сокращают по каждой букве.

Найдите значение выражения a⁹ · (b⁵)²⁠(a · b)⁸ при a = 6 и b = √6.

Решение

Упрости числитель и знаменатель: (b⁵)² = b¹⁰, (a · b)⁸ = a⁸ · b⁸
Сократи по каждой букве: a⁹ : a⁸ = a, b¹⁰ : b⁸ = b²
b² = (√6)² = 6. Остаётся 6 · 6 = 36

Ответ: 36

Можно иначе. Подставлять числа сразу бессмысленно: показатели слишком большие. После сокращения от выражения остаётся a · b² — и только теперь подставляют a = 6, b² = 6: 36.

Если получилось не 36

6 — Проверь показатель у b: в числителе и знаменателе он разный, и b² не сокращается.

Типичные ошибки

Перемножают показатели при умножении степеней: a³ · a⁴ = a⁷, а не a¹².
Складывают показатели в степени степени: (a³)⁴ = a¹², а не a⁷.
Применяют свойства к степеням с разными основаниями: 2³ · 3² нельзя записать как 6⁵.
Считают, что a⁻ⁿ — отрицательное число. 2⁻³ = 18, это положительное число.
Путают (−3)² = 9 и −3² = −9.
Подставляют число до упрощения и ошибаются в вычислениях с большими степенями.

В каких заданиях встречается

Задание 8 — значение выражения со степенями.
Задание 6 — вычисления со степенями десяти и дробями.
Задание 12 — формулы со степенями и стандартный вид числа.

Вопросы и ответы

Что происходит с показателями при умножении степеней?

Если основания одинаковые, показатели складываются: 5² · 5³ = 5⁵. При разных основаниях складывать показатели нельзя.

Чему равна степень с отрицательным показателем?

Единице, делённой на ту же степень с положительным показателем: 10⁻² = 1100 = 0,01.

Чему равно число в нулевой степени?

Единице, если основание не равно нулю: 7⁰ = 1, (−2,5)⁰ = 1. Выражение 0⁰ не определено.

Есть ли свойства степеней в справочных материалах ОГЭ?

Да: в разделе алгебры записаны все свойства — умножение и деление степеней, степень степени, произведения и дроби, отрицательный показатель.

Решать задачи на степени с переменной

Обновлено 11.10.2026