100exams
Заниматься

Квадратичная функция и её график — парабола

График квадратичной функции — парабола. В задании 11 по картинке нужно узнать формулу или знаки коэффициентов, в задании 22 — построить параболу и понять, сколько раз её пересекает прямая. И то и другое читается по трём признакам: ветви, вершина, точка на оси y.

На странице
  1. Теория
  2. Решённые примеры: 5
  3. Типичные ошибки
  4. В каких заданиях встречается
  5. Вопросы и ответы

Теория

Коэффициенты и график

Пересечение с осью x

Точки пересечения с осью x — корни уравнения ax2 + bx + c = 0. Знак дискриминанта говорит, сколько их: D > 0 — две, D = 0 — парабола касается оси x вершиной, D < 0 — общих точек нет.

Как построить параболу

Решённые примеры

1. Формула по графику: ветви и вершина

Задание 11. Знак a и свободный член одинаковые у двух формул — их различает вершина.

Установите соответствие между графиками квадратичных функций и формулами, которые их задают.

А
110xy
Б
110xy
В
110xy
  1. y = −x2 − 4x − 2
  2. y = x2 − 4x + 2
  3. y = −x2 + 4x − 2

Решение

  1. График А: ветви направлены вверх, значит перед x2 стоит плюс; вершина правее оси y, при x = 2. Абсцисса вершины x0 = −b2a, поэтому нужна формула с b = −4: 42 = 2. Это формула 2
  2. График Б: ветви направлены вниз, значит перед x2 стоит минус; вершина правее оси y, при x = 2. Абсцисса вершины x0 = −b2a, поэтому нужна формула с b = 4: −4−2 = 2. Это формула 3
  3. График В: ветви направлены вниз, значит перед x2 стоит минус; вершина левее оси y, при x = −2. Абсцисса вершины x0 = −b2a, поэтому нужна формула с b = −4: 4−2 = −2. Это формула 1

Ответ: 231

Можно иначе. Знак перед x2 и свободный член у двух формул одинаковые, по ним параболы не различить. Проверь точку: прочитай на графике координаты вершины и подставь их в формулу — должно получиться верное равенство. График А: вершина (2; −2), и при x = 2 формула даёт 4 − 8 + 2 = −2 — это формула 2. График Б: вершина (2; 2), и при x = 2 формула даёт −4 + 8 − 2 = 2 — это формула 3. График В: вершина (−2; 2), и при x = −2 формула даёт −4 + 8 − 2 = 2 — это формула 1. Получится 231.
Решать задачи на графики параболНовые числа в каждом задании и разбор ошибки

2. Знаки a и c по графику

Задание 11. Ветви дают знак a, точка на оси y — знак c.

На рисунках изображены графики функций вида y = ax2 + bx + c. Установите соответствие между графиками и знаками коэффициентов a и c.

А
110xy
Б
110xy
В
110xy
  1. a > 0, c > 0
  2. a < 0, c > 0
  3. a < 0, c < 0

Решение

  1. График А: ветви направлены вниз, значит a < 0; ось y парабола пересекает выше нуля, значит c > 0. Это вариант 2
  2. График Б: ветви направлены вверх, значит a > 0; ось y парабола пересекает выше нуля, значит c > 0. Это вариант 1
  3. График В: ветви направлены вниз, значит a < 0; ось y парабола пересекает ниже нуля, значит c < 0. Это вариант 3

Ответ: 213

Можно иначе. Коэффициент c — это значение функции при x = 0, то есть точка, где парабола пересекает ось y. Коэффициент a отвечает за ветви: вверх — a > 0, вниз — a < 0. Где находится вершина, для этих двух знаков неважно. Получается 213.

3. Парабола среди прямой и гиперболы

Задание 11. x2 в формуле — парабола.

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

А
110xy
Б
110xy
В
110xy
  1. y = x2 − 3
  2. y = −x
  3. y = −2x

Решение

  1. График А: это гипербола из двух ветвей — x стоит в знаменателе. Это формула 3
  2. График Б: это парабола — график квадратичной функции, в формуле есть x2. Это формула 1
  3. График В: это прямая — график линейной функции. Это формула 2

Ответ: 312

Можно иначе. Узнавай по виду формулы: x в первой степени — прямая, x2 — парабола, x в знаменателе — гипербола. Получится 312.

4. Парабола и прямая в одной функции

Задание 22. Вершина и точка стыка задают уровни, на которых меняется число общих точек.

Постройте график функции, заданной так: y = x2 + 1 при x ≤ 1; y = −2x + 4 при x > 1. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

На экзамене решение записывают полностью. В тренажёре для проверки: выбери свой ответ из вариантов.

  1. 1 < m < 2
  2. m < 1; m > 2
  3. m = 1
  4. m = 1; m = 2

Решение

  1. Парабола y = x2 + 1: ветви вверх, вершина в точке (0; 1). Число 0 входит в промежуток x ≤ 1, значит, вершина на графике есть
  2. На границе, при x = 1, парабола даёт 2, и формула прямой y = −2x + 4 даёт 2. Части сходятся в точке (1; 2): график не рвётся
  3. Иди по графику слева направо: парабола опускается до вершины (0; 1), поднимается до точки (1; 2), а дальше прямая уходит вниз
  4. Прямая y = m ниже 1 или выше 2 встречает график один раз, между 1 и 2 — три раза, а на высоте вершины или точки стыка — два
  5. Две общие точки при m = 1 и m = 2
110xy

Ответ: 4

Можно иначе. Двигай линейку снизу вверх параллельно оси x и считай пересечения. Ниже 1 она задевает только прямую — одна точка. На высоте 1 добавляется вершина параболы: две. Между 1 и 2 — прямая и обе ветви параболы: три. На высоте 2 прямая и одна из ветвей сходятся в точке стыка: снова две. Выше остаётся одна ветвь параболы. Вариант 4.

Как это оценят на экзамене

5. Парабола и гипербола в одной функции

Задание 22. Число общих точек считают по частям графика и складывают.

Постройте график функции, заданной так: y = x2 − 4x + 1 при x ≤ 4; y = 4x при x > 4. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

На экзамене решение записывают полностью. В тренажёре для проверки: выбери свой ответ из вариантов.

  1. 0 < m < 1
  2. −3 < m ≤ 0; m = 1
  3. m = −3; m = 1
  4. −3 < m < 0; m = 1

Решение

  1. При x > 4 график — часть гиперболы y = 4x. Здесь y > 0. Чем дальше от нуля, тем ближе эта ветвь к оси x, но оси она не касается; а к границе x = 4 она подходит на высоте 4 : 4 = 1
  2. При x ≤ 4 график — часть параболы y = x2 − 4x + 1 с вершиной (2; −3); вершина лежит в этом промежутке. При x = 4 парабола даёт 1: части сходятся в точке (4; 1), и эта точка принадлежит параболе
  3. Гипербола принимает каждое значение между 0 и 1 по одному разу. Парабола принимает значение −3 один раз (в вершине), значения больше −3, но не больше 1, — по два раза, значения больше 1 — по одному
  4. Сложи. При m < −3 общих точек нет; при m = −3 — одна; при −3 < m ≤ 0 — две, обе на параболе; при 0 < m < 1 — три; при m = 1 — две; выше — одна
  5. Две общие точки при −3 < m ≤ 0 и при m = 1
110xy

Ответ: 2

Можно иначе. Двигай линейку снизу вверх параллельно оси x. На высоте −3 она касается вершины параболы — одна точка. Выше, до оси x включительно, пересекает две ветви параболы: две точки. Над осью появляется гипербола — точек три. На высоте 1 гипербола кончается, не дойдя до точки стыка, остаются две точки параболы. Выше — одна. Вариант 2.

Как это оценят на экзамене

Типичные ошибки

В каких заданиях встречается

Вопросы и ответы

Как найти вершину параболы?

Абсцисса вершины x0 = −b2a, ордината — значение функции в этой точке. Для y = x2 − 4x + 3: x0 = 2, y0 = 4 − 8 + 3 = −1.

Как по графику определить знак коэффициента a?

По ветвям: вверх — a > 0, вниз — a < 0.

Что показывает коэффициент c?

Точку, где парабола пересекает ось y: при x = 0 функция равна c.

Есть ли формула вершины параболы в справочных материалах ОГЭ?

Да: абсцисса вершины x0 = −b2a. Как знаки коэффициентов влияют на график, там не написано.

Определять знаки коэффициентов параболы

Обновлено 11.10.2026