Линейная функция и её график

Q: Что показывает коэффициент b?

Точку пересечения прямой с осью y: прямая проходит через (0; b).

Q: Когда две прямые параллельны?

Когда у них одинаковые угловые коэффициенты k и разные b: y = 2x + 1 и y = 2x − 3.

Q: Есть ли свойства линейной функции в справочных материалах ОГЭ?

Нет, их нужно помнить.

График линейной функции y = kx + b — прямая. Два её коэффициента читаются по картинке сразу: k — наклон, b — точка на оси y. Этого достаточно для задания 11 и для кусочно-линейных графиков задания 22.

На странице

Теория
Решённые примеры: 4
Типичные ошибки
В каких заданиях встречается
Вопросы и ответы

Теория

Коэффициенты

k — угловой коэффициент. k > 0 — прямая поднимается слева направо (функция возрастает), k < 0 — опускается, k = 0 — горизонтальная прямая y = b.
b — ордината точки пересечения с осью y: при x = 0 значение функции равно b.
При b = 0 получается прямая пропорциональность y = kx — прямая проходит через начало координат.

Как найти k по графику

Возьми две точки прямой с целыми координатами: k = y2 − y1x2 − x1. Проще говоря, на сколько поднимается прямая при шаге на единицу вправо.

Взаимное расположение прямых

Прямые y = k1x + b1 и y = k2x + b2 параллельны, если k1 = k2 и b1 ≠ b2.
Если k1 ≠ k2, прямые пересекаются; точку пересечения находят, приравняв правые части.

Решённые примеры

1. Формула по графику прямой

Задание 11. Точка на оси y даёт b, наклон — знак k.

Установите соответствие между графиками функций вида y = kx + b и формулами, которые их задают.

y = −2x + 2
y = 2x − 2
y = −2x − 2

Решение

График А: прямая опускается слева направо, значит k < 0; ось y она пересекает выше нуля, значит b > 0. Это формула 1
График Б: прямая опускается слева направо, значит k < 0; ось y она пересекает ниже нуля, значит b < 0. Это формула 3
График В: прямая поднимается слева направо, значит k > 0; ось y она пересекает ниже нуля, значит b < 0. Это формула 2

Ответ: 132

Можно иначе. Число b — это точка, где прямая пересекает ось y: найди её на каждом графике. Потом посмотри, растёт прямая или убывает, — это знак k. Получится 132.

Решать задачи на графики прямыхНовые числа в каждом задании и разбор ошибки

2. Знаки k и b без формул

Задание 11. Два признака по очереди: наклон и точка на оси y.

На рисунках изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между графиками и знаками коэффициентов k и b.

k < 0, b < 0
k < 0, b > 0
k > 0, b > 0

Решение

График А: прямая опускается слева направо, значит k < 0; ось y она пересекает выше нуля, значит b > 0. Это вариант 2
График Б: прямая поднимается слева направо, значит k > 0; ось y она пересекает выше нуля, значит b > 0. Это вариант 3
График В: прямая опускается слева направо, значит k < 0; ось y она пересекает ниже нуля, значит b < 0. Это вариант 1

Ответ: 231

Можно иначе. Смотри на два признака по очереди. Наклон: вверх направо — k > 0, вниз — k < 0. Точка на оси y: выше нуля — b > 0, ниже — b < 0. По этим двум признакам получается 231.

3. Прямая среди параболы и гиперболы

Задание 11. x в первой степени — прямая.

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

y = 4x
y = −x
y = x² − 3

Решение

График А: это прямая — график линейной функции. Это формула 2
График Б: это гипербола из двух ветвей — x стоит в знаменателе. Это формула 1
График В: это парабола — график квадратичной функции, в формуле есть x². Это формула 3

Ответ: 213

Можно иначе. Узнавай по виду формулы: x в первой степени — прямая, x² — парабола, x в знаменателе — гипербола. Получится 213.

4. Кусочно-линейная функция

Задание 22. Значения в точках стыка задают уровни, где меняется число общих точек.

Постройте график функции, заданной так: y = 2,5x + 1,5 при x < 1; y = −4x + 8 при 1 ≤ x ≤ 2; y = x − 2 при x > 2. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

На экзамене решение записывают полностью. В тренажёре для проверки: выбери свой ответ из вариантов.

m < 0; m > 4
m = 4
m = 0; m = 4
0 < m < 4

Решение

График состоит из трёх звеньев. Найди значения в точках стыка: при x = 1 первая и вторая формулы дают 4, при x = 2 вторая и третья дают 0. График не рвётся
Первое звено поднимается до точки (1; 4), второе опускается до (2; 0), третье снова поднимается
Прямая y = m ниже 0 или выше 4 пересекает график один раз, между ними — три раза, а на уровне излома — два
Две общие точки при m = 0 и m = 4

Ответ: 3

Можно иначе. Достаточно знать, где функция растёт и где убывает: растёт до x = 1, убывает до x = 2, потом растёт. Значит, в точке x = 1 у неё «горка» высотой 4, в точке x = 2 — «ямка» глубиной 0. Горизонтальная прямая касается горки или ямки ровно при этих двух значениях m. Вариант 3.

Как это оценят на экзамене

2 балла — график построен верно, верно найдены искомые значения параметра.
1 балл — график построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены.
0 баллов — всё остальное.

Типичные ошибки

Путают k и b: b — точка на оси y, k — наклон.
Считают, что большой b означает крутую прямую. Крутизна зависит только от |k|.
По графику определяют знак k наоборот: прямая, идущая вверх слева направо, имеет k > 0.
В кусочной функции не проверяют, сходятся ли части в точке стыка.

В каких заданиях встречается

Задание 11 — знаки k и b по графику прямой.
Задание 22 — кусочно-линейные функции и прямая y = m.
Задание 12 — линейные формулы: стоимость, температура.

Вопросы и ответы

Как по графику определить знак k?

Если прямая поднимается слева направо, k > 0; если опускается — k < 0.

Что показывает коэффициент b?

Точку пересечения прямой с осью y: прямая проходит через (0; b).

Когда две прямые параллельны?

Когда у них одинаковые угловые коэффициенты k и разные b: y = 2x + 1 и y = 2x − 3.

Есть ли свойства линейной функции в справочных материалах ОГЭ?

Нет, их нужно помнить.

Определять знаки k и b

Обновлено 11.10.2026