Обратная пропорциональность и её график — гипербола
Гипербола — график обратной пропорциональности y = kx. В задании 11 по картинке нужно узнать k, в задании 22 гипербола получается после сокращения дроби и часто оказывается с выколотой точкой.
Теория
Свойства функции y = k/x
- Область определения — все x, кроме 0. Значение y = 0 функция тоже не принимает.
- График — гипербола из двух ветвей, симметричных относительно начала координат.
- k > 0 — ветви в первой и третьей четвертях; k < 0 — во второй и четвёртой.
- Ветви приближаются к осям координат, но не пересекают их.
Как найти k по графику
Возьми на графике точку с целыми координатами и перемножь их: k = x · y. Удобнее всего точка с x = 1 — тогда y = k.
Гипербола в задании 22
Дробь вроде 3x − 53x2 − 5x после сокращения становится 1x, но точки, где знаменатель исходной дроби равен нулю, из графика выкалывают. Прямая y = kx пересекает гиперболу с k > 0 в двух симметричных точках; если одна из них выколота, общая точка остаётся одна.
Решённые примеры
1. Формула по графику гиперболы
Задание 11. Четверти дают знак k, точка с x = 1 — его величину.
Установите соответствие между графиками функций вида y = kx и формулами, которые их задают.
Решение
- График А: ветви лежат во второй и четвёртой четвертях, значит k < 0; при x = 1 график проходит через y = −4. Это формула 3
- График Б: ветви лежат в первой и третьей четвертях, значит k > 0; при x = 1 график проходит через y = 2. Это формула 1
- График В: ветви лежат во второй и четвёртой четвертях, значит k < 0; при x = 1 график проходит через y = −2. Это формула 2
Ответ: 312
2. Гипербола среди прямой и параболы
Задание 11. x в знаменателе — гипербола.
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
Решение
- График А: это парабола — график квадратичной функции, в формуле есть x2. Это формула 2
- График Б: это гипербола из двух ветвей — x стоит в знаменателе. Это формула 1
- График В: это прямая — график линейной функции. Это формула 3
Ответ: 213
3. Гипербола с выколотой точкой
Задание 22. Сократи дробь, выколи точку и найди, при каком k прямая проходит через неё.
Постройте график функции y = 3x − 53x2 − 5x. Определите, при каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.
На экзамене решение записывают полностью. В тренажёре для проверки: Такое значение k одно. Для проверки введи его.
Решение
- Разложи знаменатель: 3x2 − 5x = x(3x − 5). Он не равен нулю: x ≠ 0 и x ≠ 53
- При таких x дробь сокращается: y = 1x. График — гипербола без точки с абсциссой 53: выколота точка (53; 35)
- Прямая y = kx проходит через начало координат. При k ≤ 0 общих точек нет, при k > 0 их две — симметричные относительно начала координат
- Одна общая точка получится, только если вторая попадает в выколотую: 35 = k · 53, откуда k = 925 = 0,36
Ответ: 0,36
Как это оценят на экзамене
- 2 балла — график построен верно, верно найдены искомые значения параметра.
- 1 балл — график построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены.
- 0 баллов — всё остальное.
Если получилось не 0,36
- 0,6 — Это ордината выколотой точки, а спрашивают k. Прямая y = kx должна пройти через эту точку: подставь её координаты в уравнение прямой.
4. Дробь с модулем
Задание 22. Модуль раскрывают на двух промежутках — получаются две разные гиперболы.
Постройте график функции y = 2|x| − 55|x| − 2x2. Определите, при каких значениях k прямая y = kx не имеет с графиком общих точек.
На экзамене решение записывают полностью. В тренажёре для проверки: Таких значений k три. Для проверки введи наибольшее из них.
Решение
- Замени x2 на |x|2 и разложи знаменатель: 5|x| − 2|x|2 = |x| · (5 − 2|x|). Он не равен нулю: x ≠ 0, x ≠ 52 и x ≠ −52
- Числитель отличается от скобки знаком: 2|x| − 5 = −(5 − 2|x|). При допустимых x дробь сокращается: y = −1|x|
- При x > 0 это y = −1x, при x < 0 это y = 1x: две ветви под осью x, симметричные относительно оси y. Выколоты точки (52; −25) и (−52; −25)
- Прямая y = kx проходит через начало координат. При k = 0 это ось x: график лежит ниже неё, общих точек нет. При k > 0 прямая идёт в третьей четверти и пересекает левую ветвь один раз, при k < 0 — правую ветвь один раз
- Эта единственная точка пропадает, только если она выколота. Для левой точки: −25 = k · (−52), k = 425. Для правой k = −425
- Общих точек нет при k = −0,16, k = 0 и k = 0,16. Наибольшее из них: 0,16
Ответ: 0,16
Как это оценят на экзамене
- 2 балла — график построен верно, верно найдены искомые значения параметра.
- 1 балл — график построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены.
- 0 баллов — всё остальное.
Если получилось не 0,16
- 0 — При k = 0 общих точек и правда нет, но это не наибольшее значение: есть ещё прямые, проходящие через выколотые точки.
- 0,4 — Это расстояние от выколотой точки до оси x. Угловой коэффициент — отношение ординаты выколотой точки к её абсциссе.
Типичные ошибки
- Путают четверти: при k > 0 ветви в первой и третьей.
- Определяют k по точке, которая лежит не на графике, а рядом с ним.
- Рисуют гиперболу, пересекающую оси координат.
- Сокращают дробь и забывают выколоть точку.
В каких заданиях встречается
- Задание 11 — гипербола: знак и величина k.
- Задание 22 — гипербола с выколотой точкой и прямая y = kx.
Вопросы и ответы
Как по графику гиперболы найти k?
Взять точку графика с целыми координатами и перемножить их. Если гипербола проходит через (2; 3), то k = 6.
В каких четвертях лежит гипербола y = −4/x?
Во второй и четвёртой: k = −4 < 0.
Пересекает ли гипербола оси координат?
Нет. x = 0 не входит в область определения, а значение 0 функция не принимает.
Есть ли свойства гиперболы в справочных материалах ОГЭ?
Нет, их нужно помнить.
Обновлено 11.10.2026