Линейные неравенства и системы неравенств

Линейное неравенство решают почти как уравнение: переносят слагаемые и делят на коэффициент. Отличие одно — при делении на отрицательное число знак неравенства меняется. В задании 13 ответ выбирают из промежутков или рисунков.

На странице

Теория
Решённые примеры: 4
Типичные ошибки
В каких заданиях встречается
Вопросы и ответы

Теория

Правила

Любое слагаемое можно перенести в другую часть, сменив его знак.
Обе части можно умножить или разделить на положительное число — знак неравенства сохраняется.
При умножении или делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: из −2x < 6 следует x > −3.

Как записать ответ

Строгое неравенство (<, >) — граница не входит: круглая скобка, на рисунке выколотая точка.
Нестрогое (≤, ≥) — граница входит: квадратная скобка, закрашенная точка.
x > 3 — это (3; +∞); x ≤ −1 — это (−∞; −1]. У бесконечности скобка всегда круглая.

Системы неравенств

Решение системы — числа, которые подходят каждому неравенству. Реши неравенства по отдельности, отметь решения на одной прямой и возьми общую часть. Если общей части нет, система решений не имеет.

Не путай систему с совокупностью: в системе нужно пересечение решений, а не их объединение.

Решённые примеры

1. Иксы в обеих частях

Задание 13. Иксы влево, числа вправо, деление на положительный коэффициент.

Укажите решение неравенства −3x + 9 < −5x + 21.

(−∞; −6)
(−6; +∞)
(−∞; 6)
(6; +∞)

Решение

Иксы влево, числа вправо: −3x − (−5x) < 21 − 9
2x < 12
Делим на 2: x < 6
Это промежуток (−∞; 6)

Ответ: 3

Можно иначе. Проверь подстановкой: возьми число из каждого варианта и подставь в неравенство. Например, x = 5 подходит, а x = 7 — нет. Так остаётся вариант 3.

Решать линейные неравенстваНовые числа в каждом задании и разбор ошибки

2. Ответ на рисунке

Задание 13. Нестрогое неравенство — точка закрашена.

Укажите решение неравенства 2x + 1 ≤ −11.

Решение

Перенеси число вправо: 2x ≤ −11 − 1, то есть 2x ≤ −12
Делим на 2: x ≤ −6
На прямой это луч влево от точки −6; точка закрашена, потому что неравенство нестрогое

Ответ: 2

Можно иначе. Проверь подстановкой: число −7 должно подходить неравенству, а −5 — нет. Найди рисунок, где первое число закрашено, а второе нет, с границей в точке −6. Это вариант 2.

3. Система неравенств

Задание 13. Общая часть двух лучей, направленных в одну сторону.

Укажите решение системы неравенств: 3x ≤ 0 и 2x − 2 ≤ 0.

нет решений
(−∞; 0]
[0; 1]
[1; +∞)

Решение

Реши каждое неравенство отдельно: x ≤ 0 и x ≤ 1
Решение системы — числа, которые подходят обоим: числа не больше 0 заведомо не больше 1
Получается: (−∞; 0]

Ответ: 2

Можно иначе. Отметь на одной прямой оба решения штриховкой: x ≤ 0 и x ≤ 1. Там, где штриховки накладываются, — решение системы: (−∞; 0]. Это вариант 2.

4. Система с ответом на рисунке

Задание 13. Строгие неравенства — точки выколоты.

Укажите решение системы неравенств: 2x + 2 > 0 и 4x − 4 > 0.

Решение

Реши каждое неравенство отдельно. Если делишь на отрицательное число, знак неравенства меняется. Получается: x > −1 и x > 1
Решение системы — числа, которые подходят обоим неравенствам: числа больше 1 заведомо больше −1 — луч вправо от 1
Точки выколоты, потому что неравенства строгие

Ответ: 4

Можно иначе. Отметь на одной прямой оба решения штриховкой: x > −1 и x > 1. Решение системы — там, где штриховки накладываются. Потом проверь подстановкой: возьми число из закрашенной части выбранного рисунка и убедись, что оно подходит обоим неравенствам. Это рисунок 4.

Типичные ошибки

Не меняют знак при делении на отрицательное число.
Путают круглые и квадратные скобки: при ≤ и ≥ граница входит в ответ.
В системе берут объединение решений вместо общей части.
Ставят квадратную скобку у бесконечности.

В каких заданиях встречается

Задание 13 — линейные неравенства и системы, ответ промежутком или рисунком.
Задание 20 — неравенства как шаг решения.

Вопросы и ответы

Когда в неравенстве меняется знак?

Когда обе части умножают или делят на отрицательное число. Из −3x ≥ 12 следует x ≤ −4.

Какая скобка ставится в ответе?

Круглая, если граница не входит (строгое неравенство или бесконечность), квадратная — если входит (≤ или ≥).

Как решить систему неравенств?

Решить каждое неравенство, отметить решения на одной прямой и взять их общую часть.

Есть ли правила решения неравенств в справочных материалах ОГЭ?

Нет. Правило смены знака при делении на отрицательное число нужно помнить.

Решать системы неравенств

Обновлено 11.10.2026