Геометрическая прогрессия: формулы и задачи ОГЭ
Геометрическая прогрессия — последовательность, в которой каждый следующий член получается из предыдущего умножением на одно и то же число. В задании 14 это и задачи с формулой, и сюжеты: масса изотопа уменьшается вдвое, колония растёт втрое, мяч отскакивает всё ниже.
Теория
Определение
Последовательность (bn) — геометрическая прогрессия, если её первый член не равен нулю, а каждый следующий равен предыдущему, умноженному на одно и то же число q, не равное нулю. Число q называют знаменателем прогрессии: q = b2b1.
Формулы
- n-й член: bn = b1 · qn − 1.
- Сумма первых n членов при q ≠ 1: Sn = (qn − 1) · b1q − 1.
- Квадрат каждого члена, начиная со второго, равен произведению двух соседних.
Что видно по знаменателю
- q > 1 и b1 > 0 — члены растут.
- 0 < q < 1 и b1 > 0 — члены убывают, но остаются положительными.
- q < 0 — знаки членов чередуются.
Задачи на рост и распад
Слова «увеличивается втрое каждые 15 минут» или «уменьшается вдвое каждые 9 минут» означают геометрическую прогрессию со знаменателем 3 или 12. Число шагов — это всё время, делённое на длину одного шага. За k шагов начальное значение умножается на qk.
Решённые примеры
Примеры взяты из тренажёра: там такие же задания, только числа каждый раз новые.
1. n-й член по первому члену и знаменателю
Задание 14. Подстановка в формулу: показатель степени на единицу меньше номера.
В геометрической прогрессии (bn) первый член b1 = 5, знаменатель q = 2. Найдите b5.
Решение
- Формула n-го члена: bn = b1 · qn − 1
- b5 = 5 · 24
- 24 = 16, поэтому b5 = 5 · 16 = 80
Ответ: 80
Если получилось другое число
- 160 — Показатель на единицу меньше номера: 24, а не 25.
- 13 — В геометрической прогрессии на q умножают, а не прибавляют.
2. Отрицательный первый член
Задание 14. Знак первого члена сохраняется, если знаменатель положительный.
В геометрической прогрессии (bn) первый член b1 = −1, знаменатель q = 2. Найдите b4.
Решение
- Формула n-го члена: bn = b1 · qn − 1
- b4 = −1 · 23
- 23 = 8, поэтому b4 = −1 · 8 = −8
Ответ: −8
Если получилось другое число
- −16 — Показатель на единицу меньше номера: 23, а не 24.
- 5 — В геометрической прогрессии на q умножают, а не прибавляют.
3. Распад: величина уменьшается вдвое
Задание 14. Сначала считают, сколько раз величина успеет уменьшиться.
Масса радиоактивного изотопа уменьшается вдвое каждые 9 минут. В начале наблюдения она составляла 60 мг. Найдите массу изотопа через 18 минут. Ответ дайте в миллиграммах.
Решение
- Сколько раз масса успеет уменьшиться вдвое: 18 : 9 = 2
- Каждый раз масса делится на 2, всего 2 раза подряд — это деление на 22 = 4
- 60 : 4 = 15
Ответ: 15
Если получилось другое число
- 30 — Промежутков по 9 минут прошло 2, а не 1: начальная масса — это ещё до первого деления.
4. Рост: величина увеличивается втрое
Задание 14. То же самое с умножением: число шагов — показатель степени.
В питательную среду поместили колонию микроорганизмов массой 20 мг. Каждые 15 минут масса колонии увеличивается втрое. Найдите массу колонии через 45 минут после начала опыта. Ответ дайте в миллиграммах.
Решение
- Сколько раз масса успеет вырасти втрое: 45 : 15 = 3
- Каждый раз масса умножается на 3, всего 3 раза подряд — это умножение на 33 = 27
- 20 · 27 = 540
Ответ: 540
Если получилось другое число
- 180 — Втрое 3 раза подряд — это умножение на 33 = 27, а не на 3 · 3 = 9.
- 1620 — Промежутков по 15 минут прошло 3, а не 4.
5. Номер члена, с которого величина меньше порога
Задание 14. Членов немного — их выписывают подряд, пока не получится нужное.
Резиновый мячик с силой ударили о пол. После первого отскока он поднялся на 2,7 м, а при каждом следующем отскоке поднимался на высоту в три раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую поднимется мячик, впервые станет меньше 60 см?
Решение
- Высоты отскоков — геометрическая прогрессия: каждая следующая в 3 раза меньше. Переведи первую в сантиметры: 2,7 м = 270 см
- Выписывай высоты, пока не получится меньше 60: 270; 90; 30
- 30 < 60 — это отскок с номером 3
Ответ: 3
Если получилось другое число
- 2 — На отскоке с номером 2 высота ещё 90 см — это больше 60 см.
- 4 — Высота меньше 60 см уже на отскоке с номером 3: там 30 см.
- 30 — Это высота отскока, а спрашивают его номер.
Типичные ошибки
- Возводят знаменатель в степень n, а не n − 1.
- Сначала умножают b1 на q, а потом возводят произведение в степень. В формуле в степень возводят только q.
- Прибавляют знаменатель вместо умножения — решают задачу как арифметическую прогрессию.
- В задачах на время берут показателем число минут, а не число шагов: 18 минут при шаге 9 минут — это 2 шага.
- Не переводят единицы: высота в метрах, а порог в сантиметрах.
В каких заданиях встречается
- Задание 14 — n-й член, задачи на рост и распад.
Вопросы и ответы
Какая формула n-го члена геометрической прогрессии?
Первый член умножают на знаменатель в степени n − 1. Если первый член равен 5, а знаменатель 2, пятый член равен 5 · 16 = 80.
Как найти знаменатель геометрической прогрессии?
Разделить любой член на предыдущий. Для членов 5 и 10, стоящих подряд, знаменатель равен 2.
Есть ли формулы геометрической прогрессии в справочных материалах ОГЭ?
Да: формула n-го члена и формула суммы первых n членов.
Соседние темы
- Арифметическая прогрессия
- Квадратное уравнение: дискриминант и теорема Виета
- Вероятность: классическое определение
- Все темы
Теория — школьная программа 7–9 классов; задания составлены нами по спецификации и открытому банку заданий ФИПИ для ОГЭ 2027 года. Числа в тренажёре каждый раз новые. Обновлено 11.10.2026.