Арифметическая прогрессия: формулы и задачи ОГЭ
Арифметическая прогрессия — последовательность, в которой каждый следующий член получается из предыдущего прибавлением одного и того же числа. В задании 14 она встречается и «в чистом виде», и в сюжете: ряды в зале, торможение поезда, равномерное охлаждение.
Теория
Определение
Последовательность (an) — арифметическая прогрессия, если каждый её член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d. Число d называют разностью прогрессии: d = a2 − a1. Разность может быть отрицательной — тогда члены убывают — и нулевой.
Формулы
- n-й член: an = a1 + d(n − 1).
- Сумма первых n членов: Sn = (a1 + an) · n2.
- Та же сумма через первый член и разность: Sn = 2a1 + d(n − 1)2 · n.
- Разность по двум членам с номерами m и k: d = am − akm − k.
- Каждый член, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних.
Как узнать прогрессию в задаче с сюжетом
Слова «на одно и то же число больше», «каждую минуту опускалась на 4 градуса», «за каждую следующую секунду на 2 м меньше» означают арифметическую прогрессию. Первое названное значение — a1, то, на сколько меняется величина, — разность d (со знаком минус, если величина уменьшается).
Дальше важно понять, что спрашивают: значение на одном шаге — это n-й член, а всё вместе за несколько шагов — сумма.
Решённые примеры
Примеры взяты из тренажёра: там такие же задания, только числа каждый раз новые.
1. n-й член по первому члену и разности
Задание 14. Подстановка в формулу; разность отрицательная — следи за знаком.
В арифметической прогрессии (an) первый член a1 = 9, разность d = −6. Найдите a10.
Решение
- Формула n-го члена: an = a1 + d · (n − 1)
- a10 = 9 + (−6) · 9
- a10 = 9 − 54 = −45
Ответ: −45
Если получилось другое число
- −51 — Ты прибавил разность 10 раз. До 10-го члена шагов только 9.
2. Сумма первых n членов
Задание 14. Сначала находят последний из складываемых членов, потом сумму.
Найдите сумму первых 10 членов арифметической прогрессии, в которой a1 = 8 и d = 1.
Решение
- Сначала последний из них: a10 = 8 + 1 · 9 = 17
- Формула суммы: Sn = (a1 + an) · n2
- S10 = (8 + 17) · 102 = 125
Ответ: 125
Если получилось другое число
- 17 — Это 10-й член, а спрашивают сумму первых 10.
- 250 — В формуле суммы есть деление на 2.
3. Разность по двум членам
Задание 14. Первого члена в условии нет: разность находят по двум известным рядам.
В амфитеатре 17 рядов, и в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В 3-м ряду 28 мест, а в 6-м — 40. Сколько мест в последнем ряду?
Решение
- От 3-го ряда до 6-го — 3 перехода, и мест стало больше на 40 − 28 = 12
- На один переход приходится 12 : 3 = 4 — это разность прогрессии
- От 6-го ряда до последнего, 17-го, — 11 переходов: 40 + 4 · 11 = 84
Ответ: 84
Если получилось другое число
- 108 — От 6-го ряда до 17-го переходов 11, а не 17.
- 88 — От первого ряда до 17-го переходов 16, а не 17.
- 4 — Это разность — на сколько мест больше в каждом следующем ряду. Спрашивают про последний ряд.
4. Сумма в задаче с сюжетом
Задание 14. Спрашивают, сколько мест во всём зале, — это сумма, а не n-й член.
В первом ряду амфитеатра 19 мест, а в каждом следующем на 1 место больше, чем в предыдущем. Всего в амфитеатре 14 рядов. Сколько в нём мест?
Решение
- Число мест по рядам — арифметическая прогрессия: a1 = 19, d = 1
- В последнем ряду: a14 = 19 + 1 · 13 = 32
- Всего мест: S14 = (19 + 32) · 142 = 357
Ответ: 357
Если получилось другое число
- 32 — Это число мест в последнем ряду, а спрашивают про весь амфитеатр.
- 714 — В формуле суммы есть деление на 2.
- 266 — Ряды не одинаковые: в каждом следующем на 1 больше.
5. Убывающая прогрессия: торможение
Задание 14. Путь за каждую секунду уменьшается — разность отрицательная.
Перед станцией машинист начал торможение. За первую секунду после этого поезд прошёл 12 м, а за каждую следующую — на 2 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров поезд прошёл за первые 5 секунд торможения?
Решение
- Путь по секундам — арифметическая прогрессия: a1 = 12, d = −2
- Последний из нужных членов: a5 = 12 − 2 · 4 = 4
- S5 = (12 + 4) · 52 = 40
Ответ: 40
Если получилось другое число
- 80 — В формуле суммы есть деление на 2.
- 60 — Путь за секунду не одинаковый: каждую секунду он на 2 м меньше.
- 4 — Это путь за одну последнюю секунду, а спрашивают весь путь.
Типичные ошибки
- Умножают разность на n, а не на n − 1. От первого члена до n-го — на один шаг меньше, чем номер.
- Теряют знак отрицательной разности: 9 + (−6) · 9 — это 9 − 54.
- В формуле суммы забывают разделить на 2 или подставляют не последний член, а разность.
- Находят n-й член, когда спрашивают сумму: «сколько мест в зале» и «сколько мест в последнем ряду» — разные вопросы.
- Считают, что между 3-м и 6-м членами шесть шагов. Шагов 6 − 3 = 3.
В каких заданиях встречается
- Задание 14 — n-й член, сумма, задачи с сюжетом.
Вопросы и ответы
Какая формула n-го члена арифметической прогрессии?
К первому члену прибавляют разность, умноженную на n − 1. Если первый член равен 9, а разность −6, десятый член равен 9 + (−6) · 9 = −45.
Как найти сумму первых n членов арифметической прогрессии?
Сложить первый и последний из этих членов, умножить на их количество и разделить на 2. Для десяти членов от 8 до 17: (8 + 17) · 10 : 2 = 125.
Как отличить арифметическую прогрессию от геометрической?
В арифметической к каждому члену прибавляют одно и то же число, в геометрической — умножают на одно и то же число. Слова «на 3 больше» — арифметическая, «в 3 раза больше» — геометрическая.
Есть ли формулы арифметической прогрессии в справочных материалах ОГЭ?
Да: формула n-го члена и формула суммы первых n членов через первый и последний члены.
Соседние темы
- Геометрическая прогрессия
- Квадратное уравнение: дискриминант и теорема Виета
- Вероятность: классическое определение
- Все темы
Теория — школьная программа 7–9 классов; задания составлены нами по спецификации и открытому банку заданий ФИПИ для ОГЭ 2027 года. Числа в тренажёре каждый раз новые. Обновлено 11.10.2026.