Системы счисления: как переводить числа

В задании 10 числа записаны в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах, а ответ нужен в десятичной. Все переводы держатся на одной идее: место цифры в записи определяет, на какую степень основания её умножают.

На странице

Теория
Решённые примеры: 5
Типичные ошибки
Где встречается на экзамене
Вопросы и ответы

Теория

Что такое основание

Основание системы — сколько в ней цифр. В двоичной их две: 0 и 1. В восьмеричной восемь: от 0 до 7. В шестнадцатеричной шестнадцать: от 0 до 9 и буквы A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15.
Основание пишут маленькой цифрой справа внизу: 1012, 178, 2B16. Число без такой пометки — десятичное.
Цифра на первом месте справа умножается на основание в степени 0, то есть на 1; на втором — на основание; на третьем — на его квадрат, и так далее.

Из любой системы в десятичную

Подпиши над цифрами степени основания справа налево, начиная с нулевой, умножь каждую цифру на её степень и сложи.

1101012 = 32 + 16 + 4 + 1 = 53: складывают степени двойки, под которыми стоят единицы.
1578 = 1 · 64 + 5 · 8 + 7 = 111.
2B16 = 2 · 16 + 11 = 43.

Из десятичной в двоичную

Первый способ — делить на 2 и выписывать остатки, пока частное не станет нулём. Для числа 53: 53 : 2 = 26, остаток 1; 26 : 2 = 13, остаток 0; 13 : 2 = 6, остаток 1; 6 : 2 = 3, остаток 0; 3 : 2 = 1, остаток 1; 1 : 2 = 0, остаток 1. Остатки читают с конца: 110101.

Второй способ — разложить число на степени двойки. Наибольшая степень, которая помещается в 53, — это 32; остаётся 21 = 16 + 4 + 1. Получилось 53 = 32 + 16 + 4 + 1: на местах 32, 16, 4 и 1 ставим единицы, на местах 8 и 2 — нули: 110101.

По спецификации в двоичную систему переводят целые числа в пределах от 0 до 1024, так что степеней двойки до 2¹⁰ достаточно. Они собраны на странице «Таблица степеней двойки».

Из десятичной в восьмеричную и шестнадцатеричную

Так же, только делят на 8 или на 16. Для числа 53: 53 : 8 = 6, остаток 5 — получаем 658. И 53 : 16 = 3, остаток 5 — получаем 3516. Если остаток от деления на 16 больше 9, его записывают буквой: остаток 11 — это B.

Между двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной

Здесь десятичная система не нужна: 8 = 2³, 16 = 2⁴. Поэтому одна восьмеричная цифра — это ровно три двоичных разряда (триада), а одна шестнадцатеричная — ровно четыре (тетрада).

Из двоичной: разбей запись на группы справа налево — по три разряда для восьмеричной системы, по четыре для шестнадцатеричной. Слева допиши нули, если разрядов не хватает. 1101012 = 110 101 = 658; 1101012 = 0011 0101 = 3516.
В двоичную: замени каждую цифру её группой и убери нули слева. 658: 6 — это 110, 5 — это 101, получается 1101012.
Из восьмеричной в шестнадцатеричную и обратно переводят через двоичную.

Таблица всех шестнадцати цифр с их двоичными группами — на странице «Таблица степеней двойки».

Сколько единиц и нулей в двоичной записи

Единиц в двоичной записи столько, сколько слагаемых в разложении числа на степени двойки.
Значащие нули — это нули правее первой единицы. Нули, приписанные слева при замене цифр группами, значащими не считают.
Число разрядов определяет старшая степень: если она равна 2⁷, в записи 8 разрядов.

Решённые примеры

Примеры взяты из тренажёра: там такие же задания, только числа и слова каждый раз новые.

1. Сумма чисел в трёх системах

Форма демоверсии 2027 года. Каждое слагаемое переводят в десятичную систему отдельно.

Вычислите значение арифметического выражения: 8F16 + 1028 + 101011002. Ответ запишите в десятичной системе счисления.

Решение

В шестнадцатеричном числе цифры стоят при степенях числа 16: 1, 16, 256. 8F16 = 8 · 16 + 15 = 143 (F = 15).
В восьмеричном числе цифры стоят при степенях восьмёрки: 1, 8, 64, 512. 1028 = 1 · 64 + 2 = 66.
В двоичном числе каждая единица — это степень двойки. 101011002 = 128 + 32 + 8 + 4 = 172.
Сложи: 143 + 66 + 172 = 381

Ответ: 381

Можно иначе. Переводить можно и по цифрам слева направо: умножай накопленное на основание и прибавляй следующую цифру. Для 1028: (1 · 8 + 0) · 8 + 2 = 66. Так же получаются 172 и 143, а сумма равна 381.

Если получилось другое число

417 — Число 1028 записано в восьмеричной системе: его тоже нужно перевести в десятичную.

Решать такие же в тренажёре →

2. Наименьшее из трёх чисел

Переводим все три числа в десятичную систему и сравниваем.

Даны три числа, записанные в разных системах счисления: 2518, AF16, 101001102. Найдите среди них наименьшее и запишите его в ответе в десятичной системе счисления.

Решение

Переведи в десятичную систему: 2518 = 2 · 64 + 5 · 8 + 1 = 169.
Переведи в десятичную систему: AF16 = 10 · 16 + 15 = 175 (A = 10, F = 15).
Переведи в десятичную систему: 101001102 = 128 + 32 + 4 + 2 = 166.
Сравни: из чисел 169, 175, 166 наименьшее — 166

Ответ: 166

Можно иначе. Сравнить можно и в двоичной системе: каждая восьмеричная цифра — это три двоичных разряда, шестнадцатеричная — четыре. Получается 2518 = 101010012; AF16 = 101011112; 101001102. Чем длиннее запись, тем больше число, а при равной длине сравнивай разряды слева направо: наименьшее — 101001102, в десятичной системе это 166.

Если получилось другое число

175 — Ты нашёл наибольшее число, а нужно наименьшее.
169 — Это не наименьшее из трёх чисел. Переведи в десятичную систему все три и сравни.

Решать такие же в тренажёре →

3. Из шестнадцатеричной в двоичную

Каждую цифру заменяем тетрадой и считаем нули.

Число FC16 перевели в двоичную систему счисления. Сколько значащих нулей в получившейся записи?

Решение

Основание 16 — степень двойки, поэтому каждую цифру можно заменить отдельно: шестнадцатеричная цифра — это четыре двоичных разряда. F → 1111, C → 1100.
Запиши группы подряд: 11111100.
В записи 8 цифр, из них единиц 6. Нулей: 8 − 6 = 2

Ответ: 2

Можно иначе. Можно перевести через десятичную систему: FC16 = 15 · 16 + 12 = 252 (C = 12, F = 15), а 252 = 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4. Слагаемых 6 — столько в двоичной записи единиц; самое большое из них — 2⁷, значит, разрядов 8, а нулей 8 − 6 = 2.

Если получилось другое число

6 — Ты посчитал единицы, а спрашивают про нули.
8 — Это число всех цифр в двоичной записи. Нужны только нули.

Решать такие же в тренажёре →

4. Из восьмеричной в двоичную

Каждую цифру заменяем триадой; нули слева от первой единицы не считаем.

Число 4548 перевели в двоичную систему счисления. Сколько значащих нулей в получившейся записи?

Решение

Основание 8 — степень двойки, поэтому каждую цифру можно заменить отдельно: восьмеричная цифра — это три двоичных разряда. 4 → 100, 5 → 101, 4 → 100.
Запиши группы подряд: 100101100.
В записи 9 цифр, из них единиц 4. Нулей: 9 − 4 = 5

Ответ: 5

Можно иначе. Можно перевести через десятичную систему: 4548 = 4 · 64 + 5 · 8 + 4 = 300, а 300 = 256 + 32 + 8 + 4. Слагаемых 4 — столько в двоичной записи единиц; самое большое из них — 2⁸, значит, разрядов 9, а нулей 9 − 4 = 5.

Если получилось другое число

4 — Ты посчитал единицы, а спрашивают про нули.
9 — Это число всех цифр в двоичной записи. Нужны только нули.

Решать такие же в тренажёре →

5. Из десятичной в двоичную

Раскладываем число на степени двойки или делим на 2 с остатками.

Число 588 перевели из десятичной системы счисления в двоичную. Сколько значащих нулей в получившейся записи?

Решение

Разложи число на степени двойки, начиная с самой большой, которая в него помещается: 588 = 512 + 64 + 8 + 4.
Степень, которая вошла в сумму, даёт в своём разряде единицу, остальные разряды — нули: 588 = 10010011002.
В записи 10 цифр, из них единиц 4. Нулей: 10 − 4 = 6

Ответ: 6

Можно иначе. Можно делить на 2 и выписывать остатки: 588 : 2 = 294 (ост. 0), 294 : 2 = 147 (ост. 0), 147 : 2 = 73 (ост. 1), 73 : 2 = 36 (ост. 1), 36 : 2 = 18 (ост. 0), 18 : 2 = 9 (ост. 0), 9 : 2 = 4 (ост. 1), 4 : 2 = 2 (ост. 0), 2 : 2 = 1 (ост. 0), 1 : 2 = 0 (ост. 1). Остатки, прочитанные от последнего к первому, дают 1001001100. Нулей здесь 6.

Если получилось другое число

4 — Ты посчитал единицы, а спрашивают про нули.
10 — Это число всех цифр в двоичной записи. Нужны только нули.

Решать такие же в тренажёре →

Типичные ошибки

Одно из чисел забывают перевести и складывают как десятичное.
Путают значения букв: B принимают за 12, F — за 16. Верно: B = 11, F = 15.
Начинают счёт степеней с первой, а не с нулевой: крайняя правая цифра умножается на 1.
В восьмеричном числе третью цифру справа умножают на 16 вместо 64.
Остатки от деления читают в том порядке, в каком получили, а нужно с конца.
Разбивают двоичную запись на группы слева направо. Группы отсчитывают справа.
Считают значащими нули, приписанные слева.

Где встречается на экзамене

Задание 10 — сумма, сравнение чисел, единицы и нули в записи.
Задание 16 — в демоверсии 2027 года условие отбора — про запись числа в восьмеричной системе.
Таблица степеней двойки — степени двойки и двоичные группы цифр.

Решать задания на системы счисления Перевод в двоичнуюБесплатно, без регистрации: каждый раз новое задание и разбор ошибки.

Вопросы и ответы

Как перевести число из двоичной системы в десятичную?

Сложить степени двойки, которые стоят под единицами. Например, двоичное 110101 — это 32 + 16 + 4 + 1 = 53.

Как перевести число из десятичной системы в двоичную?

Делить на 2, выписывая остатки, пока частное не станет нулём, и прочитать остатки с конца. Или разложить число на степени двойки: 53 = 32 + 16 + 4 + 1, это двоичное 110101.

Чему равны буквы A–F в шестнадцатеричной системе?

A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15.

Как перевести двоичное число в шестнадцатеричное?

Разбить запись на группы по четыре разряда справа налево и заменить каждую группу одной цифрой. Двоичное 110101 — это группы 0011 и 0101, то есть шестнадцатеричное 35.

Нужно ли писать основание системы в ответе?

Нет. В демоверсии 2027 года сказано, что в ответе записывают десятичное число, а основание указывать не нужно.

Соседние темы

Узнай, какие задания уже получаютсяКороткая диагностика по первой части занимает пять минут. После неё — план на каждый день до экзамена.

Пройти диагностику

Теория — школьная программа 7–9 классов; задания составлены нами, числа и слова в тренажёре каждый раз новые. Факты об экзамене — из демоверсии, спецификации и кодификатора ФИПИ для ОГЭ 2027 года; на день обновления документы опубликованы как проект. Обновлено 11.10.2026.