Логические выражения: И, ИЛИ, НЕ
Высказывание — это утверждение, про которое можно сказать, истинно оно или ложно: «x > 5», «первая буква гласная». Из простых высказываний связками И, ИЛИ, НЕ собирают составные. В задании 3 нужно найти число, для которого составное высказывание истинно или ложно.
Теория
Три операции
| A | B | A И B | A ИЛИ B | НЕ A |
|---|---|---|---|---|
| ложь | ложь | ложь | ложь | истина |
| ложь | истина | ложь | истина | истина |
| истина | ложь | ложь | истина | ложь |
| истина | истина | истина | истина | ложь |
- НЕ (отрицание) меняет значение на противоположное: из истины делает ложь, из лжи — истину.
- И (конъюнкция, логическое умножение): высказывание «A И B» истинно, только когда истинны и A, и B.
- ИЛИ (дизъюнкция, логическое сложение): высказывание «A ИЛИ B» ложно, только когда ложны и A, и B. Если истинны оба — оно тоже истинно.
Порядок действий
Сначала выполняют то, что в скобках, затем НЕ, затем И, затем ИЛИ. Это похоже на арифметику: И — как умножение, ИЛИ — как сложение. Поэтому «A ИЛИ B И C» читают как «A ИЛИ (B И C)».
Как снять НЕ со сравнения
Отрицание сравнения — противоположное сравнение. Строгий знак при этом становится нестрогим и наоборот: само граничное число переходит на другую сторону.
| Было | Стало |
|---|---|
| НЕ (x > a) | x ≤ a |
| НЕ (x ≥ a) | x < a |
| НЕ (x < a) | x ≥ a |
| НЕ (x ≤ a) | x > a |
| НЕ (x = a) | x ≠ a |
| НЕ (x чётное) | x нечётное — для целых чисел |
Когда составное высказывание ложно
- «A ИЛИ B» ложно, когда ложно A и ложно B — оба сразу.
- «A И B» ложно, когда ложно хотя бы одно из двух: A или B.
- Коротко это записывают так: НЕ (A ИЛИ B) = НЕ A И НЕ B; НЕ (A И B) = НЕ A ИЛИ НЕ B. Это законы де Моргана.
В демоверсии 2027 года высказывание состоит из трёх условий: скобка с И, затем ИЛИ. Спрашивают наименьшее натуральное число, для которого оно ложно. Значит, ложны и скобка, и условие за ней — а скобка с И ложна, когда ложно хотя бы одно условие в ней.
Какие числа подходят
- Целые числа — это …, −2, −1, 0, 1, 2, …
- Натуральные числа — это 1, 2, 3, …; ноль и отрицательные числа к ним не относятся.
- Если после всех преобразований получился промежуток, наименьшее и наибольшее число в нём определяют знаки на его концах: при x > 7 наименьшее целое — 8, при x ≥ 7 — само число 7.
Решённые примеры
Примеры взяты из тренажёра: там такие же задания, только числа и слова каждый раз новые.
1. Два отрицания и связка И
Сними оба НЕ — останутся два неравенства, которые должны выполняться вместе.
Напишите наибольшее целое число x, для которого истинно высказывание: НЕ (x ≤ 25) И НЕ (x > 29).
Решение
- Избавься от отрицаний: НЕ (x ≤ 25) — то же самое, что x > 25; НЕ (x > 29) — то же самое, что x ≤ 29.
- Связка И истинна, только когда верны обе части сразу: x > 25 и x ≤ 29.
- Этому подходят целые числа от 26 до 29. Наибольшее из них — 29
Ответ: 29
Если получилось другое число
- 30 — Проверь границу подстановкой. При x = 30 часть «НЕ (x > 29)» ложна.
- 28 — Число 29 тоже подходит — подставь его в высказывание.
- 26 — Это наименьшее подходящее число, а нужно наибольшее.
2. Высказывание с ИЛИ ложно
Для каждой части запиши, когда она ложна. Обе части должны быть ложны одновременно.
Напишите наименьшее целое число x, для которого ложно высказывание: НЕ (x < 38) ИЛИ (x ≤ 29).
Решение
- Высказывание со связкой ИЛИ ложно только тогда, когда ложны обе его части.
- Часть «НЕ (x < 38)» ложна, когда x < 38. Часть «x ≤ 29» ложна, когда x > 29.
- Оба условия вместе: x < 38 и x > 29 — это целые числа от 30 до 37. Наименьшее из них — 30
Ответ: 30
Если получилось другое число
- 29 — Проверь границу подстановкой. При x = 29 часть «x ≤ 29» истинна, а значит, истинно и всё высказывание.
- 31 — Число 30 тоже подходит — подставь его в высказывание.
- 37 — Это наибольшее подходящее число, а нужно наименьшее.
3. Сравнение и чётность
После снятия НЕ остаются граница и условие на чётность: от границы идут к ближайшему подходящему числу.
Напишите наибольшее целое число x, для которого истинно высказывание: НЕ (x ≥ 6) И НЕ (x чётное).
Решение
- Избавься от отрицаний: НЕ (x ≥ 6) — то же самое, что x < 6; НЕ (x чётное) — значит, x нечётное.
- Связка И требует, чтобы обе части были верны: x < 6 и x нечётное.
- Числа, для которых x < 6: 5, 4, 3… Самое большое нечётное среди них — 5
Ответ: 5
Если получилось другое число
- 3 — Число 5 тоже подходит и стоит ближе к границе — проверь его.
- 7 — Проверь сравнение: при x = 7 часть «НЕ (x ≥ 6)» ложна.
4. Три условия: скобка с И, затем ИЛИ
Форма демоверсии 2027 года: в скобке есть и сравнение, и условие «не равно».
Напишите наибольшее натуральное число x, для которого ложно высказывание: (НЕ (x < 12) И НЕ (x = 21)) ИЛИ (x > 18).
Решение
- Избавься от отрицаний: НЕ (x < 12) — то же самое, что x ≥ 12; НЕ (x = 21) — то же самое, что x ≠ 21.
- Высказывание со связкой ИЛИ ложно, только когда ложны обе его части: и скобка, и условие «x > 18».
- Условие «x > 18» ложно, когда x ≤ 18. В скобке стоит И: она ложна, когда ложно хотя бы одно из двух условий, то есть когда x < 12 или x = 21.
- Нужны числа, для которых x ≤ 18 и при этом x < 12 или x = 21. Это все числа от 11 и меньше. Наибольшее из них — 11
Ответ: 11
Если получилось другое число
- 12 — При x = 12 в скобке оба условия истинны: скобка истинна, и всё высказывание истинно.
- 18 — При x = 18 в скобке оба условия истинны: скобка истинна, и всё высказывание истинно.
- 10 — Число 10 подходит, но оно не наибольшее: число 11 тоже подходит — подставь его.
5. Три условия: скобка с ИЛИ, затем И
Зеркальная форма: нужно, чтобы были истинны и скобка, и условие вне её.
Напишите наибольшее натуральное число x, для которого истинно высказывание: НЕ (x ≥ 10) И ((x > 14) ИЛИ НЕ (x = 7)).
Решение
- Избавься от отрицаний: НЕ (x = 7) — то же самое, что x ≠ 7; НЕ (x ≥ 10) — то же самое, что x < 10.
- Высказывание со связкой И истинно, только когда истинны обе его части: и скобка, и условие «НЕ (x ≥ 10)».
- Условие «НЕ (x ≥ 10)» истинно, когда x < 10. В скобке стоит ИЛИ: она истинна, когда истинно хотя бы одно из двух условий, то есть когда x > 14 или x ≠ 7.
- Нужны числа, для которых x < 10 и при этом x > 14 или x ≠ 7. Это все числа от 6 и меньше и числа 8 и 9. Наибольшее из них — 9
Ответ: 9
Если получилось другое число
- 10 — При x = 10 условие «НЕ (x ≥ 10)» ложно, поэтому и всё высказывание ложно.
- 8 — Число 8 подходит, но оно не наибольшее: число 9 тоже подходит — подставь его.
- 14 — При x = 14 условие «НЕ (x ≥ 10)» ложно, поэтому и всё высказывание ложно.
Типичные ошибки
- НЕ (x > 5) превращают в x < 5 и теряют число 5. Верно: x ≤ 5.
- Считают, что «A ИЛИ B» ложно, когда ложна хотя бы одна часть. Нужны обе.
- Считают, что «A ИЛИ B» ложно, когда истинны обе части. В информатике ИЛИ — неисключающее: при двух истинах оно истинно.
- Выполняют ИЛИ раньше И, не глядя на скобки.
- Называют 0 наименьшим натуральным числом. Натуральные числа начинаются с 1.
- Отвечают на противоположный вопрос: ищут наибольшее вместо наименьшего, «истинно» вместо «ложно».
Где встречается на экзамене
- Задание 3 — число, для которого высказывание истинно или ложно.
- Задание 6 — составное условие с and и or в программе.
- Задание 8 — знаки «&» и «|» в поисковых запросах.
- Задание 15 — связки и, или, не в условиях для Робота.
- Задание 16 — составное условие в своей программе.
Вопросы и ответы
Когда высказывание с ИЛИ ложно?
Только когда ложны обе его части. Если хотя бы одна истинна, всё высказывание истинно.
Когда высказывание с И истинно?
Только когда истинны обе его части. Если хотя бы одна ложна, всё высказывание ложно.
Что выполняется раньше — И или ИЛИ?
Сначала скобки, потом НЕ, потом И, потом ИЛИ.
Чему равно НЕ (x ≥ 6)?
Это то же самое, что x < 6: число 6 в отрицание не входит.
Ноль — натуральное число?
Нет. Натуральные числа — 1, 2, 3 и так далее.
Соседние темы
- Круги Эйлера и поисковые запросы
- Кодировка: сколько бит на символ, объём текста
- Кратчайший путь по таблице
- Все темы
Теория — школьная программа 7–9 классов; задания составлены нами, числа и слова в тренажёре каждый раз новые. Факты об экзамене — из демоверсии, спецификации и кодификатора ФИПИ для ОГЭ 2027 года; на день обновления документы опубликованы как проект. Обновлено 11.10.2026.