Как правильно: «обеих» или «обоих»

Правильно — «обеих». Полка — женского рода, значит, нужно слово «обе»: обе, обеих, обеим. На чём? — предложный падеж: обеих.

Правильно: обеих, обеим.

В предложении

На (обе) полках стояли старые книги.

Полка — женского рода, значит, нужно слово «обе»: обе, обеих, обеим. На чём? — предложный падеж: обеих.

Ответ: обеих

Ошибочные формы

обоих — «Обоих» — от слова «оба», оно для мужского и среднего рода. Полка — женского: обеих.
обеим — Это дательный падеж, а после «на» (где?) нужен предложный: обеих.

По (обе) сторонам улицы росли клёны.

Сторона — женского рода, значит, нужно слово «обе». По чему? — дательный падеж: обеим.

Ответ: обеим

Ошибочные формы

обоим — «Обоим» — от слова «оба», оно для мужского и среднего рода. Сторона — женского: обеим.
обеих — Это родительный или предложный падеж, а после «по» здесь нужен дательный: обеим.

Тема: числительные. Так устроено задание 8 ОГЭ: слово в скобках нужно поставить в форму, которой требует предложение.